Экспоненциальный рост числа инфицированных
Обновлено: 19.04.2024
You may have seen a version of the infographic (below) that explains the potential impact of social distancing. It nicely illustrates that reducing the total number of disease-spreading contacts each infected person has can have a dramatic effect on the total number of infections a short time later. The numbers rely on the mathematical concept of “exponential growth”.
The total number of infected people reduces dramatically after 60 days with relatively small changes to the reproduction number of the disease. Christian Yates , Author provided
Recently, Boris Johnson, the British prime minister, told the press that “it looks as though we’re now approaching the fast growth part of the upward curve. And without drastic action, cases could double every five or six days”. The consistent doubling of cases in a fixed period is the hallmark of exponential growth.
The number of new infections that a single infectious individual will cause during their infectious period is known as the basic reproduction number of a disease. This number is key to determining how widespread a disease will become.
For COVID-19, early estimates of the basic reproduction number have it somewhere between 1.5 and 4. The infographic assumes a figure somewhere in the middle, at 2.5 infectious contacts per infectious individual.
If the reproduction number of a disease can be brought below one, then the spread will slow until the disease dies out. The revised infographic below shows the number of currently infected people. Reducing contact with others by 75% will bring the reproduction number below the critical level, allowing the number of infected people to decrease almost to zero in just two months.
The number of currently infected people after 60 days (assuming recovery after 10 days) changes with the reproduction number of the disease. Christian Yates , Author provided
However, the basic reproduction number of the current stage of the outbreak is way above one. This means that each newly infected person will pass on the disease to at least one more person, on average, and consequently the disease will take off exponentially.
What exponential growth is
But what, precisely, is exponential growth? The mathematical definition says that a quantity that increases with a rate proportional to its current size will grow exponentially. This means that as the quantity increases so does that rate at which it grows. The more infected people we have in the early stages of a disease outbreak, the more people they will infect and the more the cases will rise.
Other situations in which exponential growth plays a critical role range from pyramid schemes to nuclear weapons. In a pyramid scheme, each new investor invites two more recruits who in turn invite two more. This rapid growth, at a rate proportional to the current number of members, inevitably leads to a situation in which there aren’t enough new recruits to keep the scheme going and it eventually collapses. When the pyramid tumbles, most investors lose their money.
In a nuclear fission bomb, a single uranium atom splits in two, jettisoning fast-moving neutrons and large quantities of energy in the form of electromagnetic radiation. The neutrons then collide with more atomic nuclei, splitting more atoms and releasing yet more energy in a nuclear chain reaction that increases exponentially.
At about 8:15 in the morning of August 6 1945, the atomic bomb known as the Little Boy detonated releasing energy equivalent to 30 million sticks of dynamite in an instant, devastating the Japanese city of Hiroshima. The surrender of Imperial Japan was announced nine days later. This is the awesome power of exponential growth.
What exponential growth isn’t
Although the concept of exponential growth is not new in the public consciousness, a lot of misconceptions surround the idea. Exponential is often used as a byword for rapid or large. As a counterpoint, consider the money in your bank account. Provided the interest is compounded (that is, interest is added to your initial amount and earns interest itself) then the total amount of money in your account increases in proportion to its current size – the hallmark of exponential growth.
As Benjamin Franklin put it: “Money makes money, and the money that money makes, makes more money.” If you could wait long enough, even the smallest investment would become a fortune. But don’t lock up your rainy-day fund just yet. If you invested £100 at 1% per year it would take you over 900 years to become a millionaire. Very few people would accuse the exponential growth associated with their bank account of being large or rapid.
So exponential growth does not necessarily deal with big quantities, and it is not necessarily fast. Unfortunately, across a wide range of different countries, the term exponential is appropriate to describe the rapid spread of SARS-CoV-2, the virus that causes COVID-19. With cases doubling every three to four days in the UK and deaths doubling every two to three days, things could get ugly quickly.
Small comfort
One small crumb of comfort is that almost nothing can grow exponentially forever. The only exception, ironically, is the all-too-slow growth of money in your bank account, which, at least on paper, could grow indefinitely. Unfortunately, COVID-19 cases don’t have to grow exponentially forever, or even for much longer, before the disease becomes one of the most devastating pandemics the world has ever seen.
Because the exponential proliferation of the disease is so undeniably dramatic, any changes we can make at this relatively early stage can make a huge difference even a few days down the line. Now is the time to act, to “double down” on our containment efforts to bring the exponential spread under control.
This article is republished from The Conversation under a Creative Commons license. Read the original article.
Christian Yates does not work for, consult, own shares in or receive funding from any company or organisation that would benefit from this article, and has disclosed no relevant affiliations beyond their academic appointment.
Я математик, НЕ ВРАЧ и не являюсь профильным специалистом-эпидемиологом, а свою последнюю научную работу на тему матмоделирования эпидемий написал без малого 20 лет назад. По всем вопросам здоровья, коронавирусов и смысла жизни консультируйтесь с лечащим врачом, не будьте глупыми людьми.
Ниже будет некоторое количество графиков. Перед их построением я умышленно декалибровал и упростил модель, отстроившись от параметров COVID-19. Приведенные графики демонстрируют развитие эпидемии некоторого условного вируса в некоторой условной популяции в условном времени. Не делайте предсказаний о ходе текущей пандемии, опираясь на мои картинки, не будьте глупыми людьми.
Минутка заботы от НЛО
В мире официально объявлена пандемия COVID-19 — потенциально тяжёлой острой респираторной инфекции, вызываемой коронавирусом SARS-CoV-2 (2019-nCoV). На Хабре много информации по этой теме — всегда помните о том, что она может быть как достоверной/полезной, так и наоборот.
Мы призываем вас критично относиться к любой публикуемой информации
Мойте руки, берегите близких, по возможности оставайтесь дома и работайте удалённо.
Устроена перколяционная модель обманчиво просто. Для начала мы создаем общую компьютерную модель индивидуума, участвующего в эпидемии. Что-нибудь не слишком сложное: здоров, болен, выздоровел, умер и условия перехода между состояниями. На основе статистических данных об исследуемой популяции, каждый конкретный экземпляр случайным образом наделяется теми или иными характеристиками, à la возраст, пол (если это важно), крепость иммунитета и т.п. Наделав кучку таких конкретизированных экземпляров, мы размещаем их в вершинах некоторого графа, имитирующего социальные связи. После этого остается задать условия передачи инфекции между индивидуумами, заразить несколько первых счастливчиков и дать старт эпидемии.
Большим преимуществом подобного подхода является простота модификации и свобода от многочисленных априорных допущений, позволяющие быстро прогнать модель для самых разных, даже экзотических сценариев. Примеры мы увидим ниже. Обратной стороной данного метода является то, что строгое математическое описание и анализ возникающих в такой системе эффектов зачастую очень сложен (мягко говоря). Впрочем, поэкспериментировать это нам не помешает.
При указанных условиях, получаем следующую картинку:
Фиолетовым показан процент незараженных пацаков, желтым — заболевших, зеленым — выздоровевших, черным — сами понимаете.
Посмотрим теперь на больных поближе:
Здесь на каждом шаге красненьким показан процент болеющих, но еще бессимптомных пацаков, а синим — проявляющих симптомы.
Теперь вернемся к первому графику и взглянем попристальней на начальную фазу эпидемии (легенда та же):
Да-да. Эта та самая экспонента, которой СМИ уже всю плешь проели. Если на пальцах, то происхождение этой самой экспоненты таково: в условиях, когда число носителей мало, а общественная жизнь поставляет носителю новых случайных незараженных пацаков, число новых заражений прямо пропорционально числу носителей. Математически это записывается в виде дифференциального уравнения
решением которого является, вы жеж не поверите, экспонента. Такая штука много где в природе встречается, в частности, одним из ярчайших примеров, во всех смыслах, является неуправляемая цепная реакция. Потом, с ростом числа носителей, хялява для инфекционного агента заканчивается, но в рамках текущей пандемии, например, эта фаза еще не пройдена. Если вышеприведенное уравнение слегка усложнить и подкрутить, для учета исчерпаемости ресурсов для размножения, то мы получим классическое уравнение Ферхюльста (aka логистическое уравнение):
краеугольный камень популяционной динамики. Если вы когда-нибудь слышали о r-стратегиях и K-стратегиях размножения, так вот это в честь коэффициентов из приведенного уравнения названо. Решения логистического уравнения на глаз совершенно неотличимы от графиков с первого рисунка (что не слишком-то удивительно), поэтому я их отдельно приводить не буду. К сожалению, уравнение Ферхюльста для наших задач является чрезмерным упрощением, поэтому мы с ним прощаемся и идем дальше.
Давайте теперь примем меры, скажем, отправим пацаков на выходные и закроем общественный транспорт и мероприятия до конца эпидемии. В рамках модели, это будет означать, что инфекция распространяется теперь только вдоль ребер социального графа, от родственника родственнику, от друга к другу. Ну и да, очевидно, чатлане спохватились не сразу, поэтому меры мы примем, когда заболеет 1000 пацаков.
В том же масштабе времени:
Взглянем на эпидемию целиком:
Как видите, время эпидемии растянулось в немалые разы.
Особенно важен пошаговый график:
Принятые меры на порядок снизили количество одновременно болеющих. Почему это важно, будет видно ниже.
Ну и последний эксперимент на сегодня. Будем щедры к системе здравоохранения, но при этом добавим реализму. Пусть порог ее насыщения — одномоментно болеющие 10% популяции (это заведомо гораздо круче реальности) и пусть вероятность склеить ласты у пацака, которому не досталось койки, возрастает в 10 раз. Пусть, наконец, чатлане не озаботились каникулами для пацаков (обсчитывать такой сценарий для случая с каникулами смысла нет, у минздрава в указанной постановке в самый пиковый момент останется тройной запас прочности). Тогда получим:
Многие из нас сейчас задаются вопросами: когда пандемия закончится, сколько это всё может продлиться и почему инфекция распространяется так стремительно?
В этом выпуске мы рассмотрим экспоненциальный рост на примере коронавируса COVID-19.
PS: Знания лучше паники, берегите себя и проводите карантин с пользой!
Лига образования
2.1K постов 17.3K подписчик
Правила сообщества
Публиковать могут пользователи с любым рейтингом. Однако мы хотим, чтобы соблюдались следующие условия:
ДЛЯ АВТОРОВ:
Приветствуются:
-уважение к читателю и открытость
Не рекомендуются:
-публикация недостоверной информации
ДЛЯ ЧИТАТЕЛЕЙ:
Приветствуются:
-конструктивные дискуссии на тему постов
Не рекомендуются:
-личные оскорбления и провокации
-неподкрепленные фактами утверждения
В этом сообществе мы все союзники - мы все хотим учиться! :)
Печально, что нет связи между качеством поста и качеством комментариев.
Девять минут смотреть? Нунахер
категорически мало плюсов хорошему посту
ну что выходит прогрессия сохранилась, спустя месяц к 6 апреля уже больше 1 млн.
Не все так плохо в медицине или приключения крановщика в больнице
Давеча третьего дня меня рубануло, качели то в жар то в холод температура то 38 то 40,7, вызвал скорую, опустим нюансы ибо это долго и не интересно, но фельдшерам на скорой отдельный земной поклон и моё почтение, сразу в палату, там самый цимес.
кровати говорят по 500К стоят. Кровать это прям само блаженство, два пульта управления, один простой регулировка ног и изголовья, второй уже и высоту кровати и изгиб поясницы и изголовье и ног, только что не хватает массаж и чтоб режим сна был и тебя как младенца качала. Матрац тоже специальный на нем просто лежишь от него тепло твоего тела тебя греет будто режим обогрева включён, антипролежневый эффект или как оно там, вобщем можно очень долго лежать на таком без вреда для тела.
Телевизор, там вроде и есть интернет и даже ютюбчик, но я чета не совсем понял как его там включить ибо он чета фигню всякую выдаёт, пришлось Samsung DeX+ подрубать и уже смотреть свой ютюб и вообще любой браузер с Блэк Джеком и музыкой)
Кислородный пост, кнопка вызова медсестры, кнопка индивидуального освещения над кроватью дабы не мешать другим, есть дублирующий это все пульт чтобы не тянуться на верх, розетки для зарядки всякого или просто чайник вскипятить. едем дальше.
Холодильник, не смотри что маленький он внутри большой, светлый и ппц какой тихий.
это надо было первой фотку ставить, ну да ладно, это на входе, раковина, шкаф для вещей, там правда вешалок нет, да и вещей тоже ибо и так их внизу заберут.
сральник-умывальник-душ это одно боольшое помещение, там тоже кнопками все утыкано. из палаты выходить нельзя ибо карантин все такое вот и все палаты с уборной в кнопках, нажал, тут же в течение 2х минут прибежит кто-нибудь и надо попу помыть помогут помыть если сам не в силах, надо воды, принесут воды, только что сказку на ночь не расскажут, а так всё что нужно чем-то помочь помогут. Лежу я тут и мне чета не очень стало, а мне ещё за кнопки никто ничего не объяснил, лежу дохну, заходит медбрат (да да и такие тут есть) смотрит на меня достал свой чудо прибор (гусары молчать!) измерил чего-то (потом как оказалось сатурацию им измеряют) ему там за маской самому чуть не поплохело убежал, прибежал подключил кислород напялил на меня и говорит до утра дыши не снимай утром проверю, я ещё чутка помучался покуда кислород действовать не начал, потом рубануло, утром прям как новый человек стал. Утром он говорит ещё бы чутка и в реанимацию поехали бы качать тебя, так что и тебе спасибо дорогой друг, жаль имени не узнал у них не у кого бейджеков нет и все ходят в этих костюмах аки космонавты на одно лицо, только что рост разный да формы у одного космонавта есть сиськи у другого нет, ну да шутки шутками а людям за их трудную работу и что они делают действительно поклон в ноги и моё почтение. За сим доклад закончил, всем не болеть и сходите сделайте от этой фигни прививку, у меня кончилась и неуспел сделать новую вот результат, думал реально не вывезу. Всех обнял, удачи пикабутяне!
Ковид, или как я заново ходить училась
. Начну с того, что кто-то в комментах к преыдущему посту заметил, что написано "ооочень затянуто". Ок, постараюсь покороче, как того требует народ (хотя не обещаю, с моей-то графоманией).
. Новый день. Просыпаюсь, иду в туалет; одышку не ощущаю, но там и ходить от койки до толчка и обратно в сумме метров восемь - фигня. Забираюсь обратно на койку и лежу, втыкая в потолок, до завтрака. Медсестричка сначала берёт кровь, делает уколы, потом даёт позавтракать - уплетаю за милую душу, жрать действительно хочется. Утренний обход - температуры нет, сатурация близко к норме, "а чё ты лежишь, иди гуляй по коридору, разрабатывай дыхалку!"
Ну ок, не вопрос, встаю, ковыляю до двери. Выглядываю - метров 150 от края до края. Пошла к ближнему краю - метров 30 - пока дошла, самую малость запыхалась, да и ножки стоят ооочень нетвёрдо. Постояла, перевела дух у торцевого окошка в коридоре, поплелась на другой конец коридора. Врать не буду - "мазало" при этом меня, как заправского алконавта, ровно идти не получалось; раза три присаживалась на лавочки у стены, но вставала и тащилась дальше - хотя под конец своего крестового похода реально задыхалась. Подскочила медсестричка - "может, тебе кислорода?" Отмахиваюсь, мол, русские не сдаются! В итоге - вот он, заветный подоконник в дальнем конце коридора.
Отдышалась, поплелась обратно - уже проще: знаю, куда в случае чего уронить задницу и передохнуть, также окрыляет и то, что медперсонал при необходимости может угостить кислородом страждущего. Дохожу до своей палаты, забираюсь на койку и думаю - во какая я молодец, такой путь прошла, целых 300 метров. А раз я молодец, нужно соответствовать этому высокому званию и идти в душ - а то за 4 дня бесцельного лежания от меня уже воняет, как от мокрой собаки, и причесон свалялся и покрылся коркой (до сего момента я просто боялась упасть в душе в обморок). Вот только полежу сперва полчасика, наберусь силёнок.
Душ. Ну что тут сказать - это был кайф; хоть помыться было и непросто, но я как-то справилась, и вышла из него будто другим человеком. Выхожу - соседка собирает вещи:
- Нет, переводят на долечивание к "лёгким" на другой этаж.
Так я узнала, что в этом корпусе госпиталя была некая иерархия по тяжести течения ковида: средние этажи, куда меня и занесло - "цитокинщики" и больные средней тяжести на кислороде, с одышкой и т.д., верхние - "овощи" (никому не в обиду будь сказано) на ИВЛ, нижние - не требующий особого ухода народ на долечивании (те, у кого симтомов уже нет либо они сведены к минимуму, но ПЦР пока ещё положительный). "Лёгких" не выписывали до получения отрицательного ПЦР - это ж не городские, хз, на чем они будут разъезжаться по домам по всему краю и сколько народа зафоршмачат ковидом по дороге, отлавливай контактных потом. Короче, нижние этажи - курорт: сдавай мазок и кровь раз в сутки, в остальном - твори что хочешь, и всем на тебя глубоко плевать.
В общем, я обзавидовалась соседке, и поставила себе цель - ХОДИТЬ. Вот как угодно - шатаясь, задыхаясь, но - ХОДИТЬ. Думаю - клин клином вышибают, со временем вернётся привычка дышать нормально, а там и меня на "курорт" выпнут. Так что пообедав, я вновь отправилась покорять просторы больничного коридора.
Покорила я эти просторы до ужина ещё раз пять - то есть, намотала около полутора километров. Насколько тяжело мне это давалось, можно было судить по моей синей от недостатка кислорода физиономии, на что обращали внимание все встречные "космонавты". В итоге, меня поймали на сестринском посту в середине коридора и насильно измерили сатурацию и давление: у медсестрички под скафандром глаза полезли на лоб, она мне чего-то вкатила в ногу и буквально отволокла в палату. Но не на ту напали - полчаса, и я снова плетусь по коридору.
Вечерний обход, пришёл, как и всегда, разговрочивый "космонавт". Сказал, что все у меня нормалёк, кроме одного момента: ходить надо, но не до такой степени, чтобы сшибать последствия ходьбы гипотензивными. Киваю - ну да, ну да.
А вот после отбоя произошла самая лютая дичь за всё время моего пребывания в больнице. Ночь, вся больница мирно посапывает / похрапывает / попукивает / тыкается в смартфон - и тут за окном раздаётся сначала вопль, а потом глухой такой шлепок, как будто мешок сахара уронили. Оказалось, это был суицид, какой-то бедняга вышел через окно.
Не знаю наверняка, но вроде как у некоторых ковид поражает гипоталамус, и такой больной начинает отмачивать не хуже пациента дурки - что, по-видимому, и произошло. Вследствие случившегося "космонавты" бегали по больнице, наверное, полночи (а как же - спрос-то с них), нервяк передался и пациентам; в результате, весь корпус в эту ночь получил седативные в различных количествах и вариациях (думаю, и медперсонал - тоже).
Под утро выяснилось, что суицидник при падении выжил - лететь, видимо, было не далеко, да и снег (у нас уже в конце ноября нередко можно встретить полноценные сугробы) смягчил удар. Но, к сожалению, спасти этого бедолагу не смогли - умер через несколько часов после падения (это из разговоров медперсонала в коридоре). И еще до утреннего обхода "космонавты" повыкручивали все ручки из окон - видимо, в этом госпитале таких случаев раньше не было, а в то, что это правда, никто особо не верил.
Я же, проснувшись, лежала в офигевании от прошедшей ночи, а когда мочевой пузырь напомнил о своём существовании, сползла с койки - и оказалась на полу: оказывается, ноги после вчерашних похождений по коридору адово болели. Меня этот факт, как ни странно обрадовал: боль в мышцах - признак их роста, значит, процесс восстановления ног пошёл. Теперь главное - не останавливаться на достигнутом, через силу, через боль, с одышкой, но ХОДИТЬ. Особенно учитывая то, что ко мне только что подселили какую-то постоянно бубнящую саму с собой бабку, а в перерывах между бубнежом - считающую, что я у неё кем-то вроде девочки на побегушках. Описывать весь кабздец ситуации не буду, просто скажу, что с этой бабкой находиться в одном помещении было никак нельзя - есть такая категория людей, которые способны задолбать даже неодушевлённый предмет в две секунды. Или поднять из могилы покойника и получить от него люлей за свой длинный язык.
В общем, всё время от завтрака и до вечернего обхода я болталась по коридору. И хотя ноги болели, дышать было заметно легче, чем сутки назад, когда я впервые вышла покорять коридорные пространства. А на вечернем обходе я попросилась на долечивание:
"ОДЫШКИ ПОЧТИ НЕТ, НОГИ ХОДЯТ, В ТУАЛЕТ ХОЖУ, ПИЩУ ПРИНИМАЮ. ПО СИМПТОМАМ, ВЫ ГОВОРИТЕ, ПОЧТИ ВСЁ В НОРМЕ. ПЕРЕВЕДИТЕ МЕНЯ К ЛЁГКИМ, ПОЖАЛУЙСТА. ИНАЧЕ ЭТА БАБКА УМРЁТ, И НЕ ОТ КОВИДА".
Депеша была адресована разговорчивому "космонавту". Тот, внезапно, заулыбался под своим скафандром:
- У тебя ещё 2 дня уколов же. Впрочем, ладно, они у тебя раз в сутки - там доколят. Кончится обход - решим твой вопрос.
Кажется, всё в порядке, и заболеваемость пошла на спад? Но нет, не всё так просто. Посмотрите на числа. 24 марта мы видим, что заболевших было 495 человек, и на графике это примерно половина. А 31 марта - 2337 человек, в 4,7 раза больше. Виден ли на графике рост почти в 5 раз? Видно ли на графике, что рост 30-31 марта (501 человек) втрое больше, чем 24-25 марта (163 человека) Вопрос риторический.
А теперь перестроим график так, как он должен быть построен, если не обозначена шкала - когда высота столбца прямо пропорциональна числовому значению. По числам с картинки, естественно.
И ситуация выглядит уже не так радужно, как сообщает нам RT.
32 марта - это на самом деле 1 апреля, не обращайте внимания.
Наложим одно на другое.
Оригинальные столбцы - слева. То, что построил я - справа. Видно, что до до 24 марта шкала была линейной, а потом почему-то перестала таковой быть.
Но человек грамотный вспомнит такое слово - экспонента. И скажет, что этот график построен в логарифмическом масштабе, просто нам забыли об этом сообщить.
Логарифмическая шкала - удобная штука, когда надо отследить закономерности при экспоненциальных зависимостях. А именно экспоненциально растёт число заболевших, если не принимать никаких мер - до тех пор, пока есть кого заражать. Что ж, давайте проверим.
Снова не оно, как видим. Вот прямо вообще не оно. В логарифмической шкале - постоянный рост. И это понятно - принудительная самоизоляция может дать эффект не раньше, чем через две недели после начала - инкубационный период этого вируса именно такой.
Аналогично искажён и график прироста новых заболевших.
В общем, российскими журналистами открыт новый вид графиков. Сначала он линейный, а потом превращается в непонятно что. Видимо, это такая российская экспонента.
Читайте также: