Сообщение по математике про прогрессию в вирусах

Обновлено: 23.04.2024

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Онлайн
формат
Диплом
гособразца
Помощь в трудоустройстве

Департамент по делам казачества и кадетских учебных заведений Ростовской области

государственное бюджетное общеобразовательное

учреждение Ростовской области

Выполнил: Митраков Владимир Леонидович, 10 кл.

Руководитель: Сердюк Ирина Валерьевна

Глава1.Понятие числовой последовательности. История возникновения. 4-5

Глава 2.Геометрические прогрессии в биологии. 5-6

Глава 3.Арифметические прогрессии в медицине, спорте и строительстве. 7

Список литературы. 11

Таким образом, объектом моего исследования являются арифметическая и геометрическая прогрессия.

Предмет исследования: практическое применение этих прогрессий.

Гипотеза исследования : н а уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.

Цель исследования: установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.

1. Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях.

- когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности -прогрессии;

- какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме.

3. Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение? Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.

Анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета.

Обобщение найденных фактов в учебниках по биологии и по экологии и в медицинских справочниках.

Глава1. Понятие числовой последовательности. История возникновения.

В этой части исследовательской работы, содержится информация по решению проблемного вопроса, представленной в начале работы, а именно: Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего увеличением его на определённое число.

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число.

Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях. На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э)

Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.).

Есть довольно интересная легенда, содержание которой позволяет сделать вывод о практическом применении геометрической прогрессии еще много-много лет назад.

Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. В Древнем Египте в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы: 1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1). Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым в V веке. Примеры отдельных арифметических и геометрических прогрессий можно встретить еще в древневавилонских и греческих надписях, имеющих возраст около четырех тысячелетий и более. В древней Греции еще пять столетий до н.э. были известны такие суммы:

В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. В Германии молодой Карл Гаусс (1777-1855) нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи ещё учеником начальной школы.

=101x50 =5050. Это – арифметическая прогрессия.

О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат. Рассказывают, что индийский принц Сирам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной доски – одно зерно, за вторую – два, за третью – четыре, за четвертую – восемь и так до 64-го поля. Здесь явная геометрическая прогрессия с первым членом, равным 1, и знаменателем, равным 2. В результате получилось 18 446 744 073 709 551 615 зёрен. Для такого урожая необходимо поле, которое превосходит сушу земного шара в 28 раз.

Каков же заложен потайной смысл в легенде? Умение применять математику может пригодиться в самой неожиданной ситуации.

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другие.

Глава 2. Геометрическая прогрессия в биологии.

Довольно часто, рассказывая о некоторых процессах в жизни, стараясь подчеркнуть некий смысл, говорят, что они растут в геометрической прогрессии. Какой в этом заложен смысл?

Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии. Примеры этих организмов:

ИНФУЗОРИИ… Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам. Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?

Ответ: b₁₅ = 2·2 14 = 32 768 (геометрическая прогрессия)

БАКТЕРИИ… Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. (геометрическая прогрессия). Результат каждого удвоения будем называть поколением.

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.

Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток. [Задача №524. Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобра-зовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2014, -224с.(108) ]

Решение. В сутках 1440 минут, каждые двадцать минут появляется новое поколение - за сутки 72 поколения. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, у которой b₁=1, q=2, n=72, находим, что S₇₂=2 72 -1= 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1=

= 4 722 366 482 869 645 213 695 .Это число читается:

Интенсивность размножения бактерий используют в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.), в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин), в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.), в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен).

К сожалению, интенсивность размножения бактерий играет свою негативную роль, например, в период эпидемии гриппа.

ОДУВАНЧИК……. “Потомство одного одуванчика за 10 лет может покрыть пространство в 15 раз больше суши земного шара”.

Задача: о дно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр и даёт в год около 100 летучих семян.

а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика через 10 лет при условии, если он размножается беспрепятственно по геометрической прогрессии?

Ответ: 1012 км 2

б) Хватит ли этим растениям на 11-й год места на поверхности суши земного шара?

Ответ: нет, Sсуши = 148 млн км 2

ТЛЯ……. Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев,

одна единственная тля может оставить более 300 млн. потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр.

ВОРОБЬИ…… Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет.

Глава 3. Арифметические прогрессии в медицине, спорте строительстве.

Оказывается прогрессии применяются и в медицине.

Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Найдя сумму п первых членов арифметической прогрессии, найдете, что вам надо купить 180 капель. Т.е. 2 пузырька лекарства. [Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2014, -224с.(с.100)

Решение. Составим математическую модель задачи:

5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5

а_п = а ₁ +d(n-1),

40=5+5( п -1),

S _п =((a₁+a _п )n)/2, S₈ =(5+40) · 8:2=180,

180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

В спорте …Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000м?[Задача № 471 Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2014, -224с.(с.100)

Дано: a₁=1400; d=-100, S_n=5000. Надо найти n.

5000= (2·1400-100 · (n-1)) n:2; Условию задачи удовлетворяет

10000= (2800-100 n+100) n; n=4 ( при n=25 а_n=-1000, но а_n>0)

10000= (2900-100 n) n; Значит, альпинисты покорили

100 n 2 -2900 n+10000=0; высоту за 4 дня.

n 2 -29 n+100=0; n=25, n=4. Ответ: за 4 дня.

В строительстве… Возведение многоэтажного здания — пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра.

Глава 4.Слухи и финансы.

Удивительно, как быстро разбегаются по посёлку слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого– нибудь происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела весь посёлок: все о ней знают, все слышали. Итак, задача:

В поселке 16 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине посёлка?

Если слух распространяется по посёлку и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию:

в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121 (человек);

9.15 121+81 ·3 =364 (человек);

9.30 364+243 ·3=1093 (человек);

10.00 3280 + 2187 ·3 =9841(человек).

Эту задачу можно решить по-другому, используя формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Для того, чтобы не попасть в затруднительное финансовое положение разберем механизм финансовых пирамид. Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры.

Решение: Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, …, в десятом – 234 375 000 человек; это намного больше населения страны. Так что участник, включившийся в восьмом или девятом круге, уже ничего не получит.

Решение: данная зависимость строится по закону геометрической прогрессии. Для вычисления необходимой суммы нужно воспользоваться формулой сложных процентов. Необходимые вычисления в ручную займут много времени, поэтому воспользуемся программой Excel .

Вклады… Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000р.?

(1000; 1050; 1102,5; 1157,625;1215,5025;…)

Таким образом, мы убедились, что арифметическая и геометрическая прогрессия существуют не только теоретически и знания основ этой темы помогает человеку легко ориентироваться в жизни, не попадая в неприятные ситуации.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Онлайн
формат
Диплом
гособразца
Помощь в трудоустройстве

Описание презентации по отдельным слайдам:

Цель исследования: изучить вирусы и бактерии с точки зрения математики. Проблема: что связывает математику с вирусами и бактериями? Объект исследования: вирусы и бактерии. Предмет исследования: связь вирусов и бактерий с математикой Гипотеза: жизнь вирусов и бактерий подчиняется законам математики. Задачи: 1) изучить сведения по теме, используя научно –популярную литературу, ресурсы Интернета; 2) изучить формы отдельных представителей вирусов и бактерий; 3) изучить рост численности и размеры вирусов и бактерий; 4) доказать, что рост численности вирусов и бактерий подчиняется законам математики.

Размножение вирусов Основной чертой вирусов является то, что они могут размножаться только паразитируя в клетках зараженного организма. Вирусы не обладают собственным аппаратом для синтеза органических молекул, поэтому для самовоспроизведения они используют ресурсы клетки хозяина.

Формы бактерий По особенностям строения бактерии могут быть: шаровидные (кокки) палочковидные (бациллы, клостридии, псевдомонады) извитые (вибрионы, спириллы, спирохеты) звездчатые тетраэдрические кубические C- или O-образные кокки (более или менее сферические)

Формы вирусов Зрелая вирусная частица, состоит из нуклеиновой кислоты, покрытой защитной белковой оболочкой — капсидом. Капсомер — структурная белковая субъединица капсида. Капсид состоит из белков, а его форма лежит в основе классификации вирусов по морфологическому признаку: Спиральный Икосаэдрический Продолговатый Комплексный Форма этих капсидов ни чисто спиральная, ни чисто икосаэдрическая.

Рост численности бактерий Попадая в благоприятные для развития условия, бактерия делится, образуя две дочерние клетки; у некоторых бактерий деления повторяются через каждые 20 минут, и возникают все новые и новые поколения бактерий. Произведём некоторые расчёты, составим числовую последовательность из получившегося числа бактерий: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64…. Заметим, что данная последовательность образует геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2. Нетрудно заметить, что через час четвёртый член последовательности будет равен 8, через 2 часа – седьмой член последовательности будет равен 64 и т. д. Через 6 часов девятнадцатый член такой прогрессии будет равен 262144 и т. д. Вывод: рост численности бактерий подчиняется законам геометрической прогрессии.

Рост численности вирусов Теперь мы исследуем увеличение численности вируса под названием аденовирус (вирус ОРЗ). Капсид аденовируса состоит из 252 капсомеров, 12 находятся по углам икосаэдра, а 240 - на гранях и ребрах. Цикл репродукции продолжается 14 и более часов. В одной клетке образуется до 1000 вирусных частиц, при этом клетка разрушается. В свою очередь новые вирусные частицы, попав в новые клетки, становятся способными к созданию других вирионов и т. д. Таким образом, только один вирион через двое суток после попадания в клетку человека способен дать потомство около 1 млрд. вирионов, то есть размножение аденовируса, как и всех других, подчиняется формуле n-ого члена геометрической прогрессии, где знаменатель q = 1000. Вывод: рост численности вирусов подчиняется законам геометрической прогрессии.

ВЫВОДЫ 1. Выдвинутая мною гипотеза подтвердилась: рост численности вирусов и бактерий подчиняется закону геометрической прогрессии, т. е. законам математики. 2. Связаны ли вирусы и бактерии с математикой, я изучала, используя научно - популярную литературу, ресурсы Интернета. Из данных источников узнала, что строение различных вирусов и бактерий, процесс их размножения, в том числе и формы этих микроорганизмов связаны с математикой. 3. Работа над проектом показала, что интересно изучать вирусы и бактерии и всё то, что невидимо простым глазом. 4. В наше время вопросам изучения вирусов и бактерий уделяется достаточное количество времени. Изучением данных форм жизни занимались с давних времен, каждый раз обнаруживая нечто новое, удивительное. Каждый год появляются новые формы вирусов, что со значительной серьезностью заставляет лучших специалистов мира все тщательней рассматривать эту давно открытую форму жизни. 5. Вирусы и бактерии играют важную роль как в естественном отборе организмов, в процессе эволюции живого мира, так и в повседневной жизни человека. 6. С моей точки зрения, борьба с вирусами будет всегда, пока ученые не найдут средство, которое уничтожит эти опасные для жизни человека организмы.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Онлайн
формат
Диплом
гособразца
Помощь в трудоустройстве

Описание презентации по отдельным слайдам:

Действительно ли прогрессии играют большую роль в нашей жизни?

Прогрессии имеют определенное практическое значение.

Установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.

1 Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием . 2. Выяснить: - когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности -прогрессии; - какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме. 3. Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение? Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.

Объект исследования: последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии. Предмет исследования: практическое применение этих прогрессий Основная идея исследования: Показать, как на протяжении многих веков формировалось представление о прогрессиях

Изучить историю возникновения прогрессий Познакомиться с древнейшей арифметической прогрессией Прогрессия на клетчатой бумаге Старинная задача и геометрическая прогрессия. Применение прогрессий в разных отраслях Оформить презентацию

Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием еще в IV в. н.э. От латинского слова progressio – “движение вперед” и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки. Примеры отдельных арифметических и геометрических прогрессий можно встретить еще в древневавилонских и греческих надписях, имеющих возраст около четырех тысячелетий и более

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии. Каждая арифметическая прогрессия имеет вид: a, a + d, a + 2d, a + 3d, . Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке).

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.). Для нахождения суммы числа членов геометрической прогрессии применяют следующую формулу:

Древнейшая задача: Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил настолько же больше первого, насколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Очевидно, количества хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый её член x, разность у. Доля первого X Доля второгоX+Y Доля третьегоX+2Y Доля четвертогоX+3Y Доля пятогоX+4Y

На основании условий задачи составляем систему двух уравнений: После упрощения получим: Решив эту систему, получим

Значит хлеб должен быть распределен на следующие части: людиПолученная доля первый второй третий четвертый пятый

Формулу суммы членов арифметической прогрессии легко вывести простым и наглядным приемом с помощью клетчатой бумаги. На такой бумаге любая арифметическая прогрессия изображается ступенчатой фигурой. Например, прогрессия 2;5; 8; 11; 14… имеет вид:

B A C E G Дополним ступенчатую фигуру до прямоугольника. Получим прямоугольник, состоящий из двух равных фигур, площадь каждой из них изображает сумму членов нашей прогрессии. Значит, двойная сумма нашей прогрессии равна площади прямоугольника ABGE, т.е. Hо изображает сумму 1-го и 5-го членов прогрессии; - число членов прогрессии. Поэтому двойная сумма или D 5 24 33 42 51

Рассуждая об арифметической и геометрической прогрессиях, хочется лишний раз повторить, что за видимой простатой прогрессии скрывается большой прикладной потенциал. Для решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии, экономике, строительному делу пользуются знаниями арифметической и геометрической прогрессии.

При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растёт по геометрической прогрессии.

Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.

Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются 2 нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их ещё на 4части и т.д. - это геометрическая прогрессия Равноускоренное движение — арифметическая прогрессия, т.к. за каждые промежутки времени тело увеличивает скорость в одинаковое число раз.

Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.

Вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии, сложные проценты – увеличение в геометрической прогрессии

Возведение многоэтажного здания — пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра.

Даже деревенские слухи можно описать с помощью геометрической прогрессии. Приведем пример. В поселке 2 000 жителей. Приезжий рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Новость распространяются с геометрической прогрессией.

В ходе работы было установлено, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл. Также я убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни. Я выяснила, какие ученые внесли свой вклад в развитие теории прогрессий и как теоретические знания применяются на практике в современной жизни.

Сделав анализ задач, я увидела, что прогрессии встречаются при решении задач в химии, в строительстве, в банковских расчетах, в физике , в биологии , в геометрии и в других жизненных ситуациях. На основе полученных данных можно сделать вывод о том, что знания арифметической и геометрической прогрессий помогают человечеству решать многие проблемы. Арифметическая и геометрическая прогрессии не только связаны с красивыми задачами и легендами прошлого, но и позволяют изучать часто встречающиеся на практике процессы. Таким образом, выдвинутая мною гипотеза подтверждена.

Математика давно стала частью нашей жизни. На уроках алгебры в 9 классе мы изучили арифметическую и геометрическую прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии и сумму первых членов прогрессии. Оказалось, что используя формулу для нахождения n-го члена арифметической прогрессии можно найти расстояние, которое пройдет свободно падающее тело за пятую секунду после начала падения.

Передо мной стал вопрос: в каких жизненных ситуациях можно применить знания о прогрессиях? Можно ли увидеть прогрессию в природе, экономике других областях человеческой жизни.

Таким образом, объектом моего исследования являются арифметическая и геометрическая прогрессия.

Цель исследования: установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.

1. Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях.

- какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме.

3. Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение?

4. Найти: задачи на применение прогрессий в нашей жизни.

Гипотеза исследования : на уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.

Предмет исследования: практическое применение прогрессий.

Обобщение найденных фактов в учебниках по биологии и по экологии, и в медицинских справочниках.

1.1 История вопроса

Сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл.

Натуральный ряд 1, 2, 3, …, n,… есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью тоже равной 1. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими. В развитие теории о прогрессиях внесли ученые Архимед, Пифагор и его ученики, французские математики Леонард Фибоначчи и Баше де Мезириака, немецкие математики М. Штифель, Н.Шюке и К. Гаусс.

В трудах АРХИМЕДА (ок. 287-212 гг. до н.э.) излагаются первые сведения о прогрессиях.

Уже в Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию.

По преданию, когда-то очень давно жил на свете индусский царь Шерам. Научился он игре в шахматы, был восхищен ее остроумием и разнообразием в ней положений.

И приказал он слугам позвать изобретателя игры Сета. Он желал достойно наградить изобретателя за прекрасную игру, которую он придумал. Дал он возможность Сету самому назвать награду, которая его удовлетворит, и он получит ее.

Сета сказал, чтобы повелитель, приказал выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно. Шерам удивленно переспросил, что простое пшеничное зерно? Сета сказал, что да. И продолжил, что за вторую клетку 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, и так до 64-й клетки. Царь Шерам рассмеялся.

Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за пять он смог бы рассчитаться. Но в целом зерен должно было бы получиться 18.446.744.073.709.551.615 (Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать).

Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. В Древнем Египте в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы:

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым (V в).

Пифагор и последовательности

Все когда-то учились умножать (а кто-то, может, и сейчас учится) и наверняка видели таблицу Пифагора. В учебниках её часто рисуют размером 10×10, хотя можно продолжать таблицу до бесконечности.На первый взгляд кажется, что в таблице Пифагора нет ничего интересного — число в строке умножается на число в столбце и результат пишется в соответствующую клетку. Стало быть, нетрудно догадаться, на сколько различаются соседние числа в каждом столбце или строке (ответ: на номер соответственно строки или столбца).

А что, если взять диагонали таблицы? Например, главную диагональ, идущую через клетки 1, 4, 9, 16. (на рисунке они закрашены жёлтым). Видно, что все числа на этой диагонали — квадраты. Оно и понятно, мы же умножаем номер строки на точно такой же номер столбца: N · N = N 2 . Таким образом, мы можем наперёд предсказать, что N -м числом на диагонали будет число N 2 . (Приложение 1)

Числа на второй диагонали (соседней сверху к главной) выглядят более хитро: 2, 6, 12, 20, 30, . (на рисунке они закрашены зелёным). Какой закономерности они подчиняются?

Из построения таблицы Пифагора ясно, что N -е число в этой последовательности равно N · ( N + 1), или N 2 + N . Иначе говоря, N -е число на второй диагонали больше N -го числа на главной диагонали ровно на N . (Приложение 2)

Оно и понятно — ведь такие два числа стоят в одной строке.

Числа на следующей (третьей) диагонали (3, 8, 15, 24, . ) что-то напоминают. Да это же квадраты, уменьшенные на единицу: 3 = 2 2 − 1, 8 = 3 2 − 1, 15 = 4 2 − 1 и так далее!Это нетрудно доказать. Ведь N -е число на третьей диагонали равно N · ( N + 2), то есть N 2 + 2 N . Если прибавить 1, получится N 2 + 2 N + 1, а это как раз ( N + 1) 2 . Вот и получается, что N -е число на третьей диагонали равно ( N + 1) 2 − 1.

Глава II. Теоретические сведения о прогрессиях

2.1. Арифметическая прогрессия.

Каждая арифметическая прогрессия имеет вид:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, . иобозначается (an)

Общий член арифметической прогрессии: an = an + d(n - 1)

Характеристическое свойство арифметической прогрессии n, т.е. каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому между предыдущим и последующим членом.

Если разность арифметической прогрессии d > 0 , то прогрессия называется возрастающей, если d - убывающей.

Число членов арифметической прогрессии может быть ограниченным либо неограниченным.

Если арифметическая прогрессия содержит n членов, то ее сумму можно вычислить по формуле S = (a 1 +a n )*n\2 или S n = (2a n +(n-1)d)*n\2

2.2. Геометрическая прогрессия.

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

Условия, при которых геометрическая прогрессия будет существовать:

1) Первый член не может быть равен нулю, т.к при умножении его на любое число мы в результате снова получим ноль.

2) Число, на которое умножаются члены прогрессии не должно быть равно нулю, по выше изложенным причинам.

Геометрическая прогрессия имеет вид: b 1 ,b 1 q,b 1 q 2 ,b 1 q 3 ,b 1 q 4 ,b 1 q 5

Далее, из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b 2 :b 1 = b 3 :b 2 = . = b n :b n-1 = b n+1 :b n = . . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q .

Для того чтобы задать геометрическую прогрессию (b n ), достаточно знать ее первый член b 1 и знаменатель q . Например, условиями b 1 = 2, q = -5 (q задается геометрическая прогрессия 2, -10, 50, -250, . . Эта прогрессия не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

Любая геометрическая прогрессия обладает определенным характеристическим свойством. Это свойство является следствием самого правила задания геометрической прогрессии: последовательность (b n ) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т.еq.

Пользуясь этим свойством можно находить любой член геометрической прогрессии, если известны два рядом стоящие.

Для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии есть формула: b n+1 = b 1 *(q) n-1

Для нахождения суммы геометрической прогрессии применяют следующую формулу: Sn= bn*q-b1/q-1

У геометрической прогрессии есть еще одно свойство, а именно: из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что

b 1 b n = b 2 b n+1 = . т. е. произведение членов, равно отстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Вирусы и бактерии. (Геометрическая форма, расположение в пространстве, рост численности.)

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Вирусы и бактерии играют важную роль в жизни людей, являясь в основном возбудителями различных заболеваний. Для осенне-весеннего периода характерен рост инфекционных заболеваний, вызванных данными мельчайшими формами жизнь.

Изучить видовое многообразие форм вирусов и бактерий, сравнить их формы и пространственное расположение с геометрическими фигурами, исследовать процесс размножения вирусов и бактерий с математической точки зрения.

Изучить геометрические формы и пространственное расположение отдельных представителей вирусов и бактерий.

Изучить рост численности и размеры выбранных микроорганизмов.

Доказать, что рост численности вирусов и бактерий подчиняется законам математике.

Вирусы и бактерии.

Геометрические формы и пространственное расположение вирусов и бактерий, скорость их размножения.

Вирусы можно представить в виде идеальных геометрических тел, а бактерии – в виде поверхностей вращения. Скорость размножения вирусов и бактерий в идеальных условиях можно описать, используя математические законы.

Актуальность исследования обусловлена тем, что людей окружает множество различных микроорганизмов, большую часть из которых составляют вирусы и бактерии. Многие из них опасны для человека. Эти микроскопические организмы могут вызывать заболевания, как у людей, так и у животных, растений, грибов, причём каждый из них имеет своего собственного специфического хозяина. Лишь часть микроорганизмов полезны для организма человека, например, молочнокислые бактерии, азотофиксирующие бактерии, бактериофаги (вирусы, избирательно поражающие бактериальные клетки).

Скорость размножения этих примитивных форм жизни чрезвычайно велика и зависит не только от условий, в который попали эти микроорганизмы, но и от их строения и пространственного расположения.

Поэтому, для борьбы с опасными вирусами и бактериями необходимо иметь представления об их строении, форме, пространственном расположении, особенностях и скорости размножения.

Первыми организмами, появившимися на Земле несколько миллиардов лет назад и создавшими предпосылки для дальнейшего развития жизни, были бактерии. Сейчас они составляют отдельное царство живых организмов. Вирусы – самые мелкие из известных живых существ. Бактерии являются самостоятельными живыми организмами, вирусы же, не имеющие собственного обмена веществ, заимствуют свою жизнь у клеток растений, животных и бактерий. Они являются внутриклеточными паразитами живых организмов и не способны размножаться вне клетки. Вне клетки вирусные частицы ведут себя как химические вещества.

Вирусы – простейшая форма жизни

Вирус (от латинского virus – яд) – простейшая форма жизни, микроскопическая частица, представляющая собой молекулы нуклеиновых кислот (ДНК или РНК), заключенные в белковую оболочку (капсид) и способные инфицировать живые организмы. Некоторые вирусы, такие как мимивирусы, имеют оба типа молекул. В среднем, вирусы в 5 раз меньше бактерий. Размеры и формы вирусов разнообразны. Большинство изученных вирусов имеют диаметр в пределах от 20 до 300 нм. Некоторые филовирусы имеют длину до 1400 нм, но их диаметр составляет лишь 80 нм. В 2013 году самым крупным из известных вирусов считался Pandoravirus размерами 1 × 0,5 мкм, однако в 2014 году из многолетней мерзлоты из Сибири был описан Pithovirus, достигающий 1,5 мкм в длину и 0,5 мкм в диаметре. В настоящий момент он считается крупнейшим из известных вирусов. Большинство вирионов невозможно увидеть в световой микроскоп, поэтому используют электронные – как сканирующие, так и просвечивающие.

Зрелая вирусная частица, состоит из нуклеиновой кислоты, покрытой защитной белковой оболочкой – капсидом. Капсомер – структурная белковая субъединица капсида. Капсид состоит из белков, а его форма лежит в основе классификации вирусов по морфологическому признаку.

Типы капсидов вирусов

Классифицируют четыре морфологических типа капсидов вирусов: икосаэдрический, спиральный, продолговатый и комплексный.

Икосаэдр

Икоса́эдр – правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник , одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин – 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм (рис. 1).

Рисунок 1. Геометрическая модель икосаэдра.

Большинство вирусов животных имеют икосаэдрическую или почти шарообразную форму с икосаэдрической симметрией. Правильный икосаэдр является оптимальной формой для закрытого капсида, сложенного из одинаковых субъединиц. Минимальное необходимое число одинаковых капсомеров – 12, каждый капсомер состоит из пяти идентичных субъединиц. Многие вирусы, такие как ротавирус (вирус кишечного гриппа), имеют более двенадцати капсомеров и выглядят круглыми, но сохраняют икосаэдрическую симметрию.

Вирион аденовирусов имеет форму правильного икосаэдра (диаметр 80-100 нм) со скругленными рёбрами. В каждой вершине имеется выступающая белковая структура, необходимая для связывания с клеточными рецепторами заражаемых клеток. Внутри частицы упакован геном вируса, представленный линейной двуцепочечной ДНК, длина которой варьируется, но в среднем составляет 35000 пар нуклеотидов. Капсид состоит из двух видов капсомеров – гексонов (240 гексонов) с шестью рядом располагающимися частицами и 12 пентонов на вершине икосаэдра, соединяющиеся с пятью соседними частицами (рис. 3)

Рисунок 2. Схема строения аденовируса.

Вирус папилломы человека представляет собой кольцевую двухцепочечную молекулу ДНК протяженностью около 8000 пар нуклеотидов, покрытую белковым капсидом. Капсид имеет форму икосаэдра и сформирован 72 пентамерами протеина L1, с которыми ассоциирован протеин L 2 (рис. 3)

Рисунок 3. Вирус папилломы человека.

Вирус краснухи имеет сферическую форму, диаметром 50-70 нм. Это сложный РНК-геномный вирус. РНК заключена в капсид икосаэдрической симметрии, состоящей из С белка. Нуклеокапсид окружен оболочкой – липидным бислоем – суперкапсидом (рис. 4).

Рисунок 4. Строение вируса краснухи.

Вирус кори – сложно организованный вирус, его диаметр составляет от 150 до 350 нм (рис. 5), это наиболее крупный РНК-содержащий вирус человека и животных. Белковый капсид вируса устроен по икосаэдрическому типу симметрии и содержит геном, представленный одной линейной отрицательной нитью рибонуклеиновой кислоты (РНК) – 1Н(–)РНК.

Рисунок 5. Схема строения вируса кори.

Рисунок 6. Вирус полиомиелита.

Спиральный капсид

Спиральные капсиды устроены несколько проще. Капсомеры, составляющие капсид, покрывают спиральную нуклеиновую кислоту и формируют тоже достаточно стабильную белковую оболочку этих вирусов. И при использовании высокоразрешающих электронных микроскопов и соответствующих методов приготовления препарата можно видеть спирализованные структуры на вирусах. При спиральной симметрии капсида вирусная нуклеиновая кислота образует спиральную (или винтообразную) фигуру, полую внутри, и субъединицы белка (капсомеры) укладываются вокруг нее тоже по спирали (трубчатый капсид) (рис. 7). Примером вируса со спиральной симметрией капсида является вирус табачной мозаики, который имеет палочковидную форму, а его длина составляет 300 нм с диаметром 15 нм. В состав вирусной частицы входит одна молекула РНК размером около 6000 нуклеотидов. Капсид состоит из 2000 идентичных субъединиц белка, уложенных по спирали.

Рисунок 7. Строение вируса табачной мозаики.

Продолговатый тип капсида.

Рисунок 8. Бактериофаг.

Продолговатыми назыают икосаэдрические капсиды, вытянутые вдоль оси симметрии пятого порядка. Такая форма характерна для головок бактериофагов (рис. 8).

Рисунок 9. Строение бактериофага Т4.

К омплексный капсид, организованный по принципу двойной симметрии. Некоторые бактериофаги имеют двойную симметрию: головка организована по принципу кубической симметрии, отросток - по принципу спиральной симметрии. Форма этих капсидов ни чисто спиральная, ни чисто икосаэдрическая. Они могут нести дополнительные наружные структуры, такие как белковые хвосты или сложные наружные стенки. Некоторые бактериофаги, такие как фаг Т4, имеют комплексный капсид, состоящий из икосаэдрической головки, соединённой со спиральным хвостом, который может иметь шестигранное основание с отходящими от него хвостовыми белковыми нитями. Этот хвост действует наподобие молекулярного шприца, прикрепляясь к клетке-хозяину и после впрыскивая в неё генетический материал вируса (рис. 9).

Вирусы по своей форме напоминают идеальные геометрические тела – многогранники, сферу.

Рисунок 10. Бактериальная клетка.

Б актерии – обширная группа одноклеточных микроорганизмов, характеризующихся отсутствием окруженного оболочкой клеточного ядра. Генетический материал бактерии (дезоксирибонуклеиновая кислота, или ДНК) занимает в клетке вполне определенное место - зону, называемую нуклеоидом (рис. 10).

По форме клеток бактерии можно разделить на несколько групп: палочковидные бациллы, сферические кокки, спиральные спириллы, вибрионы(короткие палочки, всегда изогнутые в виде запятой) (рис. 11).

Рисунок 11. Форма бактерий.

Кокковидные бактерии

Кокковидные бактерии обычно имеют форму правильного шара, диаметром 1,0-1,5 мкм; некоторые бобовидную, ланцетовидную, эллипсовидную форму. По характеру взаиморасположения образующихся после деления клеток кокки подразделяют на следующие группы:

Микрококки (от лат. мicros – малый). Клетки делятся в одной плоскости и чаще всего сразу же отделяются от материнской. Располагаются по одиночке, беспорядочно. Сапрофиты, патогенных для человека нет (рис. 12).

Рисунок 12. Микрококки.

Рисунок 13. Диплококки.

Д иплококки (от лат. diplos – двойной). Деление происходит в одной плоскости с образованием пар клеток, имеющих либо бобовидную, либо ланцетовидную форму. Например, возбудитель гонореи Neisseria gonorrhoeae, возбудитель пневмонии Streptococcus pneumoniae (рис. 13).

Рисунок 14. Стрептококки.

С трептококки (от лат. streptos – цепочка). Деление клеток происходит в одной плоскости, но размножающиеся клетки сохраняют между собой связь и образуют различной длины цепочки, напоминающие нити бус. Многие стрептококки являются патогенными для человека и вызывают различные заболевания: скарлатину, ангину, гнойные воспаления и другие. Например, Streptococcus pyogenes (рис. 14).

Стафилококки (от лат. staphyle – гроздь винограда). Клетки делятся в нескольких плоскостях, а образующиеся клетки располагаются скоплениями, напоминающими гроздья винограда. Стафилококки вызывают более 100 различных заболеваний человека. Они наиболее частые возбудители гнойных воспалений. Например, Staphylococcus aureus (рис. 15).

Рисунок 15. Золотистый стафилококк.

Рисунок 16. Тетракокки.

Т етракокки (от лат. tetra – четыре). Деление происходит в двух взаимно перпендикулярных плоскостях с образованием тетрад. Патогенные для человека виды встречаются очень редко (рис. 16).

Рисунок 17. Сарцины.

С арцины (от лат. sarcina – связка, тюк). Деление происходит в трех взаимно перпендикулярных плоскостях с образованием пакетов (тюков) из 8, 16, 32 и большего числа особей. Особенно часто встречаются в воздухе (рис. 17).

Цилиндрические бактерии.

Рисунок 18. Палочковидные бактерии.

Цилиндрическая, или палочковидная форма характерна для большинства бактерий (греч. bacteria – палочка; лат. bacillum – палочка). Палочковидные бактерии подразделяются на образующие эндоспоры и не образующие эндоспоры. Палочковидные бактерии различаются по длине, поперечному диаметру, форме концов клеток, расположению (рис. 18).

Спиральные бактерии.

Эти формы различаются количеством и характером завитков, длиной и толщиной клеток. Они подразделяются на вибрионы (лат. vibrare – колебание, дрожание), которые имеют вид изогнутой палочки или запятой (рис. 19); спириллы(лат. spiro – изгиб) – это спирально изогнутые клетки, имеющие большой поперечный диаметр и малое число высоких завитков (рис. 20); спирохеты (лат. spiro – изгиб, греч. сhaite – хохол, грива) (рис. 21) – это изгибающиеся тонкие спирально изогнутые клетки, напоминающие по форме синусоиду (рис. 22).

Рисунок 19. Вибрионы

Рисунок 20. Спириллы.

Рисунок 21. Бледная трепонема.

Рисунок 22. Синусоида.

Рост численности вирусов и бактерий

Репликация вирусов

Рисунок 23. Репродукция вируса.

Размножение вирусов протекает с исключительно высокой скоростью: так при попадании в верхние дыхательные пути одной вирусной частицы вируса гриппа уже через 8 часов количество инфекционного потомства достигает 10³, а концу первых суток – 10²³. Высочайшая скорость размножения вируса гриппа объясняет столь короткий инкубационный период 1-2 суток. Быстроте репродукции вируса благоприятствует распространение многих сотен вирионов, подготовленных лишь одной зараженной клеткой.

Цикл репродукции аденовируса продолжается 14 и более часов. В одной клетке образуется до 1000 вирусных частиц, при этом клетка разрушается. В свою очередь новые вирусные частицы, попав в новые клетки, становятся способными к созданию других вирионов и т.д. Таким образом только один вирион через двое суток после попадания в клетку человека способен дать потомство около 1 млрд. вирионов. То есть размножение вируса подчиняется формуле n-ого члена геометрической прогрессии, где, где q = 1000.

Геометрическая прогрессия – последовательность чисел ( членов прогрессии ) b ₁, b _2, b ₃,…, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q ( знаменатель прогрессии ), где b ₁ ≠ 0, q ≠ 0, b ₂= b ₁ q , b ₃= b ₂ q ,…, b _n = b _n _-1 q

Размножение бактерий

Бактерии в благоприятных условиях растут очень быстро. Как простейшие одноклеточные организмы, бактерии размножаются делением. Достигая своих максимальных габаритов, клетка начинает процесс деления. Спустя определённое время, одна бактерия разделившись по середине, оставляет одну свою полноценную и самостоятельную копию. В благоприятной среде процесс деления протекает особенно динамично. Попадая в благоприятные для развития условия, бактерия делится, образуя две дочерние клетки; у некоторых бактерий деления повторяются через каждые 20 минут и возникают все новые и новые поколения бактерий. Произведём некоторые расчёты, составим числовую последовательность из получившегося числа бактерий: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64… . Заметим, что данная последовательность образует геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2. Отметим, что через час четвёртый член последовательности будет равен 8, через 2 часа – седьмой член последовательности будет равен 64 и т.д. Через 6 часов 19-ый член такой прогрессии будет равен 262144 и т.д. (рис. 24).

Рисунок 24. Размножение бактерий делением надвое.

Бактерии и вирусы представляют собой геометрические тела, поверхности которых используются с наибольшей выгодой для проникновения в клетки человека: бактерии- сферические, спиралевидные, палочковидные клетки, снабжённые несколькими жгутиками, что позволяет быстро передвигаться; вирусы – принимают форму додекаэдра и икосаэдра, которые представляют собой лучшее приближение к сфере.

Размножение вирусов и бактерий подчиняется законам геометрической прогрессии, что тобусловливает высокую скорость распространения инфекционных заболеваний.

Голубев Д.Б. Размышления и споры о вирусах [Текст] / Д.Б. Голубев, В.З. Солоухин – М.: Молодая гвардия, 1989. – 226с.

Лысак В.В. Микробиология [Текст] / В.В. Лысак. – Минск.: БГУ, 2007. – 426 с.; ISBN 985-485-709-3.

Читайте также: