Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равно 0 2

Обновлено: 24.04.2024

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно из своих возможных значений, заранее не известное и зависящее от случайных причин.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные изолированные значения, которые можно пронумеровать.

Случайные величины обозначают прописными буквами и т. д., а их возможные значения – строчными . Например, если случайная величина принимает три возможных значения, то они обозначаются: .

Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является её закон распределения.

Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Если случайная величина принимает конечное число значений, то простейшей формой задания её закона распределения является таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.

Значения	…	…
Вероятности	…	…

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины, если .

Иногда ряд распределения записывают в виде матрицы

Ряд распределения можно изобразить графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие их вероятности.

Соединение полученных точек образует ломаную, называемую полигоном распределения вероятностей (рис. 1).

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать аналитически, т.е. в виде формулы. Например,

где некоторая вероятность.

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие значения приняла другая величина.

Пусть заданы две случайные величины и своими рядами распределения:

Для случайных величин вводят следующие математические операции.

Произведением случайной величины на постоянную величину называется случайная величина, которая принимает значения и задаётся рядом распределения:

степенью случайной величины , т.е. называется случайная величина, которая принимает значения с теми же вероятностями :

Суммой (разностью или произведением) случайных величин и называется случайная величина, которая принимает всевозможные значения вида ( или ), где , с вероятностями того, что случайная величина примет значение , а - значение :

Если случайные величины и независимы, то по теореме умножения вероятностей:

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех её значений на соответствующие им вероятности

Математическое ожидание характеризует среднее ожидаемое значение случайной величины .

Приведем основные свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий:

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата её отклонения от математического ожидания

Дисперсия характеризует рассеивание, разброс случайной величины относительно своего математического ожидания.

Она обладает следующими основными свойствами.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

3. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

4. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом её математического ожидания:

В качестве характеристики рассеяния возможных значений случайной величины используют также среднее квадратическое отклонение (СКО) , которое в отличие от дисперсии имеет размерность

Модой случайной величины называют наиболее вероятное её значение.

Пример 23. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из 4-х посаженных кустов и найти моду этой случайной величины.

Решение. Пусть число зараженных вирусом кустов из 4-х посаженных. Это дискретная случайная величина, которая может принимать значения: 0,1,2,3,4. По условию задачи вероятность поражения вирусом 0,2 есть величина постоянная, не зависящая от числа посаженных кустов. Тогда имеем схему независимых испытаний Бернулли, и вероятность события определяется по формуле Бернулли:

0,1536, 0,0256; 0,0016.

В итоге построим по полученным значениям вероятностей ряд распределений числа кустов земляники, зараженных вирусом:

0,4096

0,1536

0,0256

0,0016

Заметим, что 0,4096+0,4096+0,1536+0,0256+0,0016=1.

Два значения случайной величины 0 и 1 принимаются с одинаковой наибольшей вероятностью 0,4096. Отсюда случайная величина является бимодальной и 0 и 1.

Пример 24. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй – 0,8, третьей – 0,7. Составить закон распределения числа правильно решённых задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Пусть число правильно решенных задач в билете. Эта случайная величина может принимать значения: 0,1,2,3. Обозначим событие правильно решена я задача ( ). Найдем вероятности .

Тогда ряд распределения числа правильно решенных задач имеет вид:

0,006

0,092

0,398

0,504

Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется по формуле (20):

Дисперсия случайной величины определяется по формуле (21):

Пример 25. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

Найти вероятности, с которыми случайные величины и принимают значение 3, а затем составить закон распределения случайной величины и проверить выполнение свойств:

Решение. Для ряда распределения случайной величины должно выполняться равенство: . Отсюда 0,3. Аналогично 0,6.

Найдем возможные значения случайной величины .

Пусть 0. Тогда при 2 случайная величина -4.

В дальнейшем удобнее составить следующую таблицу.

-4

-6

-1

-3

Если ранжировать значения по возрастанию, то эта дискретная случайная величина принимает значения: -6, -4, -3, -1, 3, 5.

Учитывая независимость и , найдём по формуле (19) соответствующие им вероятности.

В итоге случайная величина имеет следующий закон распределения:

Найдем по формуле (20) математическое ожидание :

Далее определяем по формуле (22) дисперсию этой случайной величины:

Вычислим также математические ожидания случайных величин и

Тогда по свойствам математического ожидания

что совпадает с ранее найденным математическим ожиданием -1.

Аналогично, воспользовавшись свойствами дисперсии, получим

что совпадает с ранее вычисленной дисперсией 12,12.

Пример 26. Дискретные случайные величины и независимы и имеют один и тот же закон распределения:

Составить закон распределения:

а) случайной величины ;

б) случайной величины

и убедиться, что .

Решение. а). Вторая степень случайной величины по определению представляет случайную величину со значениями с прежними вероятностями . Отсюда закон распределения имеет вид:

б). Найдем закон распределения случайной величины . Для удобства нахождения произведения составим вспомогательную таблицу, в которой будем придавать и различные возможные их значения и вычислять .

Как видно из таблицы 4 имеются повторяющиеся значения . В итоге дискретная случайная величина принимает только следующие 5 значений: 1,2,4,8,16.

Найдем соответствующие вероятности.

Значение встречается в таблице один раз. Поэтому в силу независимости и имеем

Значение присутствует в таблице 2 раза.

Тогда вычисляем суммарную вероятность для этих двух одинаковых значений:

Значение встречается в таблице 3 раза.

Отсюда суммарная вероятность найдется как сумма вероятностей трёх событий:

В итоге получаем закон распределения произведения :

Из полученных законов распределения дискретных случайных величин и видно, что они представляют различные случайные величины.

Пример 27. Дискретная случайная величина задана распределением:

Найти условную вероятность события при условии, что .

Решение. Введем в рассмотрение события: и . Тогда по условию задачи требуется найти условную вероятность .

По теореме умножения вероятностей

Событию благоприятствуют следующие значения дискретной случайной величины : , которые являются несовместными и поэтому вероятность события равна сумме вероятностей

Аналогично событию благоприятствуют значения : .

7.1. Среди 10 изготовленных приборов 3 неточных. Составить закон распределения числа неточных приборов среди взятых наудачу 4 приборов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Составить функцию распределения случайной величины и построить ее график.

7.2. В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Составить закон распределения случайной величины — числа импортных из 4 наудачу взятых телевизоров. Найти функцию распределения и построить ее график.

7.3. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй — 0,8, третьей — 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию.

7.4. Поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность сдачи первого экзамена 0,9, второго — 0,8, третьего — 0,7. Следующий экзамен поступающий сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Составить закон распределения числа приходов на экзамен для лица, поступающего в институт. Найти математическое ожидание случайной величины.

7.5. В городе 4 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 10 %. Составить закон распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года и найти числовые характеристики этого распределения.

7.6. Вероятность поражения земляники вирусным заболеванием равна 0,2. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

7.7. В урне находятся шары трех весов 3, 4 и 5 кг с соответствующими вероятностями 0,2; 0,3; 0,5. Извлекаются два шара с возвращением обратно. Составить закон распределения суммарного веса двух извлеченных шаров. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

7.8. Производится стрельба из орудия по удаляющейся цели. При первом выстреле вероятность попадания равна 0,8, при каждом следующем выстреле вероятность попадания уменьшается в 2 раза. Случайная величина Х — число попаданий в цель при трех выстрелах. Составить закон распределения случайной величины Х.

7.9. Найти закон распределения числа пакетов трех акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из них равна соответственно 0,5; 0,6; 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

7.10. В лотерее разыгрывается один автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., четыре телевизора – стоимостью 250 ден. ед. каждый, пять магнитофонов – стоимостью 200 ден. ед. каждый. Продано 1000 билетов стоимостью 7 ден. ед. каждый. Составить закон распределения случайной величины Х – чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.

7.11. В карточной игре игрок, который извлекает из колоды карт (52 карты) валет или даму, выигрывает 15 очков; тот, кто вытащит короля или козырного туза, выигрывает 5 очков. Игрок, который достанет любую другую карту, проигрывает 4 очка. Если вы решили участвовать в этой игре, определите сумму очков ожидаемого выигрыша.

7.12. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения и , причем . Известны вероятность возможного значения , математическое ожидание И дисперсия . Найти закон распределения этой случайной величины.

7.13. Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга по два выстрела. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,5. Пусть Х – число попаданий в мишень первым стрелком, Y– число попаданий в мишень вторым стрелком. Построить закон распределения случайной величины Z = X – Y и найти M(Z), D(Z).

Ответ: M(Z) = –0,2; D(Z) = 0,98.

7.14. Имеется шесть ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа попыток при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ: M(Х) =; D(Х) =

7.15. В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2 : 3. Куплено четыре пары обуви. Построить закон распределения числа купленных пар обуви, изготовленных первой фабрикой. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Ответ: M(Х) = 1,6; D(Х) = 0,96; .

7.16. В партии из десяти изделий имеется одно бракованное. Чтобы его обнаружить вынимают наугад одно изделие за другим и каждое вынутое изделие проверяют. Построить закон распределения и найти математическое ожидание числа проверенных изделий.

Ответ: M(Х) = 5,5.

7.17. Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной (без ограничения числа проверенных деталей). Составить закон распределения числа проверенных деталей. Найти M(Х) и D(Х) случайной величины, если известно, что вероятность брака для каждой детали равна 0,1.

Ответ: M(Х) = 10;D(X)= 90.

7.18. Независимые случайные величины Х и Y заданы следующими законами распределения:

Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является её закон распределения.

Значения	…	…
Вероятности	…	…

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины, если .

Иногда ряд распределения записывают в виде матрицы

Соединение полученных точек образует ломаную, называемую полигоном распределения вероятностей (рис. 1).

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать аналитически, т.е. в виде формулы. Например,

где некоторая вероятность.

Пусть заданы две случайные величины и своими рядами распределения:

Для случайных величин вводят следующие математические операции.

Если случайные величины и независимы, то по теореме умножения вероятностей:

Математическое ожидание характеризует среднее ожидаемое значение случайной величины .

Приведем основные свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Она обладает следующими основными свойствами.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

3. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Модой случайной величины называют наиболее вероятное её значение.

0,1536, 0,0256; 0,0016.

0,4096

0,1536

0,0256

0,0016

Заметим, что 0,4096+0,4096+0,1536+0,0256+0,0016=1.

Тогда ряд распределения числа правильно решенных задач имеет вид:

0,006

0,092

0,398

0,504

Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется по формуле (20):

Дисперсия случайной величины определяется по формуле (21):

Пример 25. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

Решение. Для ряда распределения случайной величины должно выполняться равенство: . Отсюда 0,3. Аналогично 0,6.

Найдем возможные значения случайной величины .

Пусть 0. Тогда при 2 случайная величина -4.

В дальнейшем удобнее составить следующую таблицу.

-4

-6

-1

-3

Учитывая независимость и , найдём по формуле (19) соответствующие им вероятности.

В итоге случайная величина имеет следующий закон распределения:

Найдем по формуле (20) математическое ожидание :

Далее определяем по формуле (22) дисперсию этой случайной величины:

Вычислим также математические ожидания случайных величин и

Тогда по свойствам математического ожидания

что совпадает с ранее найденным математическим ожиданием -1.

Аналогично, воспользовавшись свойствами дисперсии, получим

что совпадает с ранее вычисленной дисперсией 12,12.

Пример 26. Дискретные случайные величины и независимы и имеют один и тот же закон распределения:

Составить закон распределения:

а) случайной величины ;

б) случайной величины

и убедиться, что .

Найдем соответствующие вероятности.

Значение встречается в таблице один раз. Поэтому в силу независимости и имеем

Значение присутствует в таблице 2 раза.

Тогда вычисляем суммарную вероятность для этих двух одинаковых значений:

Значение встречается в таблице 3 раза.

Отсюда суммарная вероятность найдется как сумма вероятностей трёх событий:

В итоге получаем закон распределения произведения :

Пример 27. Дискретная случайная величина задана распределением:

Найти условную вероятность события при условии, что .

Решение. Введем в рассмотрение события: и . Тогда по условию задачи требуется найти условную вероятность .

По теореме умножения вероятностей

Аналогично событию благоприятствуют значения : .

· Случайная величина – действительная переменная X, которая принимает свои возможные значения x в зависимости от исходов испытания.

· Дискретная случайная величина – случайная величина, возможные значения которой образуют конечное или счетное множество действительных чисел, то есть, множество, элементы которого можно пронумеровать.

· Индикатор события – случайная величина, принимающая значение 1, если это событие произошло, и значение 0, если это событие не произошло.

· Закон распределения дискретной случайной величины – функция p(x_j), устанавливающая соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями; вероятность p(x_j) = p_j = p(X = x_j)= p X в результате испытания примет значение x_j>; для конечного множества n возможных значений случайной величины:

для счетного множества возможных значений случайной величины ряд p(x₁)+ p(x₂) + … сходится, и его сумма равна 1.

· Ряд распределения вероятностей – табличная форма закона распределения дискретной случайной величины:

X	x₁	x₂	…	x_j	…
p(x)	p₁	p₂	…	p_j	…

· Многоугольник распределения –графическая форма закона распределения дискретной случайной величины в плоскости Охрв виде многоугольника, получаемого при соединении ломаной точек значений вероятностей p(x_j) и замыкании крайних точек перпендикулярами на числовую ось значений случайной величины х.

· Функция распределения случайной величины X – функция F(x), определяющая вероятность события X примет значение меньше числа x>: . Для дискретной величины F(x) – ступенчатая неубывающая функция: F(– ¥) = 0, F(+ ¥) = 1.

· Математическое ожидание М(X) случайной величины Х – числовая характеристика закона распределения случайной величины Х, определяющая среднее вероятностное (среднее ожидаемое) значение этой величины; для дискретной случайной величины М(Х) = .

· Дисперсия D(X) случайной величины Х – числовая характеристика закона распределения случайной величины Х, определяющая характерный разброс квадрата отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = М(Х – М(Х)) 2 ; для дискретной случайной величины D(X) = = М(Х 2 )– М 2 (Х).

· Среднее квадратическое отклонение σ(х) случайной величины (СКО) Х – числовая характеристика закона распределения случайной величины определяющая характерный линейный разброс отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания: σ(х) = .

· Закон равновероятного распределения дискретной случайной величины X: закон равновероятного распределения дискретной случайной величины Х задается формулой р(X = x_j)= 1 ∕ n, где n – число возможных различных значений, которые может принимать случайная величина Х, j = :

Математическое ожидание М(Х) = (x₁ + x₂ +…+ x_n _– ₁ + x_n) ∕n, то есть, равно среднему арифметическому возможных значений Х.

В случае, когда Х принимает значения из натурального ряда чисел от 1 до n:

М(Х) = (n+1) ∕ 2; σ(Х) = ; D(X) = .

· Закон распределения индикатора события X: закон распределения индикатора события Х задается формулой р(Х = х) = ; М(Х) = р; σ(Х) = ; D(X) = pq.

· Закон биномиального распределения дискретной случайной величины X: закон биномиального распределения дискретной случайной величины Х задается формулой Бернулли р(X = m) = ∙p m ∙q n – m , где 0 ≤ р ≤ 1; q = 1 – р; m – целое неотрицательное число из возможных значений: 0, 1, …, n; М(Х) = nр; σ(Х) = ; D(X) = npq.

· Закон пуассоновского распределения дискретной случайной величины X: закон пуассоновского распределения дискретной случайной величины Х задается формулой Пуассона (формулой редких событий) р(X = m) = ; где параметр а>0, m – целое неотрицательное число: 0, 1, 2, …; М(Х) = а; σ(Х) = ; D(X) = а.

Задачи

6.1. Вероятности того, что студент сдаст семестровый экзамен в сессию по дисциплинам А и В, равны соответственно 0,7 и 0,9. Составить закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент по этим дисциплинам, и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6.2. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения:

х_j
p_j	р₁	0,15	р₃	0,25	0,35

Найти: а) р₁ и р₃, если известно, что р₃ в 4 раза больше р₁; б) М(Х), D(X), F(x). Построить график F(x) и многоугольник распределения.

6.3. Подбрасываются две симметричные монеты, подсчитывается число гербов на обеих верхних сторонах монет. Рассматривается дискретная случайная величина Х – число выпадений гербов на обеих монетах. Записать закон распределения случайной величины Х. Найти М(Х), D(X), F(x). Построить график F(x) и многоугольник распределения.

6.4. В коробке 7 карандашей, из которых 4 красных. Из этой коробки наудачу извлекают 3 карандаша. Найти: а) закон распределения случайной величины Х, равной числу красных карандашей в выборке; б) М(Х), D(X), F(x). Построить график F(x) и многоугольник распределения.

6.5. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из 4-х посаженных кустов. Найти М(Х), D(X), F(x). Построить график F(x).

6.6. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5-ти выданных. Найти М(Х), D(X), σ(Х).

6.8. В билете 3 задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9; второй – 0,8; третьей – 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6.9. Произведено два выстрела в мишень. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,8; вторым – 0,7. Каждый стрелок делает по одному выстрелу. Составить закон распределения числа попаданий в мишень. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

6.10. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном испытании равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном испытании.

6.11. В партии деталей 10% – нестандартных. Наудачу отобраны четыре детали. Составить таблицу биномиального закона распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди 4-х отобранных и построить многоугольник полученного распределения.