Вирус в форме икосаэдра
Обновлено: 15.04.2024
В статье рассмотрены современные взгляды на строение капсидов сферических вирусов, которые представляют собой икосаэдры (икосаэдрические вирусы). Каждая грань икосаэдра сложена однослойной плотнейшей упаковкой белковых глобул, которая может быть различно ориентирована относительно ребер икосаэдра. Если линии глобул расположены параллельно ребрам икосаэдра, то капсид имеет точечную группу симметрии Ih (с плоскостями симметрии), если не параллельны – группу симметрии I (без плоскостей). С математической точки зрения в обеих группах симметрии имеются серии, объединяющие одинаково (с точностью до подобия) устроенные капсиды. Они связаны попарно переходами к дуальным формам (гомологической серии). Сформулирована гипотеза о том, что у наиболее крупных сферических вирусов строение капсидов может быть еще разнообразнее и сложнее. Наряду с икосаэдром их базовыми формами могут быть любые простые формы, разрешенные в группах симметрии I h и I (всего 8). Сделано предположение, что переходы в сериях подобия и между гомологическими сериями имеют филогенетическое значение. Известны сферические вирусы обеих групп симметрии. Например, коронавирус SARS-CoV-2 имеет группу симметрии I h и принадлежит к хорошо известной серии. Кристаллографический подход позволяет построить строгую морфологическую классификацию сферических вирусов. Это важно для их раннего распознавания и раздельного исследования. Статья демонстрирует практическое применение кристалломорфологии в изучении вирусных систем – актуальной проблеме геоэкологии и охраны жизнедеятельности.
Введение
Пандемия коронавируса SARS-CoV-2 заставила заговорить о сферических вирусах представителей разных наук. Живые они или не живые? Каково их место в структуре и эволюции нашего мира [6, 8]? Эти фундаментальные вопросы естествознания стали второстепенными, на первый план в качестве важнейшей задачи геоэкологии и охраны жизнедеятельности вышло всестороннее изучение вирусных систем. Сейчас необходимо объединить усилия в исследовании этих механизмов, уничтожающих наш биологический вид.
В вирусах эффективно все – генетическое содержание (свернутые в клубки ДНК/РНК) и защитные капсиды (белковые глобулярные оболочки). Именно в описании капсидов кристалломорфология может сказать свое слово. Номенклатура и классификация вирусов считаются сложными областями вирусологии [3]. Группировка может быть основана на морфологических и физиологических критериях. Идеал, к которому стремятся вирусологи, – классификация, отражающая эволюционные и филогенетические взаимоотношения вирусов и обеспечивающая их удобную и рациональную номенклатуру.
Почему кристалломорфология, ведь вирусы – не предмет кристаллографии? Опыты по облучению сферических вирусов рентгеновскими лучами показали, что отбрасываемая ими тень не круглая, а скорее полигональная. Методом моделирования была подобрана нужная форма [15, 16] – икосаэдр, а сферические вирусы получили название икосаэдрических. Отношение к икосаэдру и додекаэдру (они имеют ту же симметрию как дуальные формы) претерпело в кристаллографии заметную эволюцию. Р.-Ж.Гаюи первый показал, что они не могут быть кристаллическими полиэдрами, ибо противоречат закону рационального двойного отношения параметров, носящему сегодня его имя. Это было важным открытием, ибо даже И.Кеплер и А.Г.Вернер считали эти формы кристаллическими. Позднее было доказано, что оси симметрии 5-го порядка противоречат дальнему трансляционному порядку в кристаллах. А гониометрические измерения Ж.Б.Ромэ-Делиля показали, что минеральные додекаэдр и икосаэдр, широко известные по кристаллам пирита, являются не платоновыми полиэдрами, а пентагондодекаэдром и его комбинацией с октаэдром.
Казалось бы, вопрос решен. Но кристаллографы держали икосаэдр и додекаэдр в поле зрения. В ранге додекаэдро-икосаэдрической системы (именно системы, чтобы принципиально отличать ее от кристаллографических сингоний) их рассматривали основатель кафедры кристаллографии Санкт-Петербургского горного института Е.С.Федоров [9] и профессор кафедры В.В.Доливо-Добровольский [5]. В полной группе элементов симметрии 6L5 10L3 15L2 15PC у этих форм есть 3L2 и 4L3, а еще три взаимно перпендикулярные плоскости, располагающиеся как и в кубической сингонии [10]. Поэтому простые формы додекаэдро-икосаэдрической системы являются в то же время комбинациями некоторых особых форм кубической системы, но лишь при особых, невозможных в кристаллах, величинах углов между гранями. Требуемым угловым отношениям мешает решетчатое (т.е. трансляционно упорядоченное) строение кристаллов.
За несколько десятилетий круг объектов кристаллографии заметно расширился. Полноправными составляющими стали шехтманиты – сплавы с дальним, но не трансляционным порядком, допускающие оси симметрии 5-го и других, ранее запрещенных, порядков. Активно изучаются наноразмерные стабильные фуллерены – углеродистые и металлоуглеродистые полиэдрические (полые и допированные) молекулы с икосаэдрической симметрией [4], которые вообще не обладают дальним (трансляционным и нетрансляционным) порядком. Однако любой реальный кристалл тоже конечен, лишь в теории его решетка мыслится бесконечной. Наконец, в системе минералогии есть органические минералы и минералоиды глобулярного строения. Ввиду уже сделанных в кристаллографии и минералогии паллиативных расширений базовых определений, сферические вирусы (по крайней мере их капсиды) являются очевидными объектами этих наук, имеющими естественное происхождение, ведь ученых уже не смущают их органический состав, наноразмерность, отсутствие решетки и наличие осей 5-го порядка [1], а плотнейшие упаковки глобул на гранях икосаэдра прямо обращают к кристаллографии. По причине важности сферических вирусов в качестве объекта изучения икосаэдр и додекаэдр возвращаются в кристаллографию в ранге додекаэдро-икосаэдрической сингонии.
Геометрия сферического капсида
Принципы строения капсидов сферических вирусов и их классификация просты и лаконичны [7]. Всякий капсид построен из 20 равносторонних треугольных мега-граней, заполненных белковыми глобулами по принципу однослойной плотнейшей шаровой упаковки. Однако ребра икосаэдра могут совпадать или не совпадать с линиями глобул. В первом случае капсид имеет точечную группу симметрии (т.г.с.) Ih (с плоскостями симметрии), во втором – I (без плоскостей). Существует теорема, указывающая разрешенные для капсидов триангуляционные числа: Т = Рf 2 , где Р = h 2 + hk + k 2 ; 0 < h ≥ k ≥ 0 – любые пары целых чисел без общих делителей; f = 1, 2, 3, . ; h, k – координаты конца базального ребра мега-грани в косоугольной (60°) декартовой системе координат, согласованной с плотнейшей упаковкой глобул; Т – площадь грани капсида; f – коэффициент пропорциональности для одинаково ориентированных (подобных по строению) граней.
В основу классификации капсидов положены числа Т, они достаточно информативны. Так, т.г.с. Ih имеют капсиды двух серий: (h, k) = (f, 0); T = f 2 (табл.1, верхний ряд) и (h, k) = (f, f), T = 3f 2 (табл.1, диагональ). В серии (f, 0) всегда Т = (m – 1) 2 , где m – число глобул на ребре мега-грани. Число глобул в любом капсиде 10Т + 2. Они образуют морфологические субъединицы: 12 пентамеров и 10(Т – 1) гексамеров. У любого капсида число элементарных треугольников, образованных тремя соседними глобулами, равно 20Т.
Изомеры, генераторы, гомологические серии
Анализ многообразия сферических вирусов обнаружил изомеры – капсиды с одинаковым числом Т (табл.1). Для Т = 49 их можно различить по симметрии: капсид (h, k) = (7, 0) имеет т.г.с. Ih, капсид (5, 3) – т.г.с. I. Но для Т = 91 оба капсида (9, 1) и (6, 5) имеют т.г.с. I. При этом символы (h, k) фиксируют строение любого капсида однозначно. Именно их предлагается положить в основу классификации и номенклатуры икосаэдрических капсидов.
Серии (f, 0) и (f, f) с т.г.с. Ih закономерно связаны [2]. Простейший капсид в серии (f, 0) принадлежит бактериофагу φX174 (Т = 1) и выглядит как додекаэдр с 12 глобулами в центрах граней. Простейший капсид в серии (f, f) принадлежит вирусу желтой мозаики турнепса (Т = 3) и выглядит как фуллерен С60 с 32 глобулами в центрах граней, это усеченный икосаэдр, который дуален додекаэдру. Переход к дуальному полиэдру с усечением вершин выполняется по правилу (h, k) → (h + 2k, h – k) и увеличивает Т втрое (табл.2).
Вирусы и их геометрические формы
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Мы решили выбрать эту тему, так как в связи с современной ситуацией вирусных инфекций в нашей стране и в нашем городе. Нам захотелось подробно изучить особенности вирусов, как биологических организмов, понять в чем причина постоянного изменения формы вирусов.
Известные знания о вирусах, их строении, классификации, о форме положены в основу данной работы. Мы попробуем заняться моделированием и создадим основные формы вирусов из имеющихся материалов.
Предмет: геометрические формы вирусов
Гипотеза: на основе данной темы предполагаем, что вирусы имеют разные геометрические формы и обладают способностью их изменять.
Цель исследовательской работы: изучение и моделирование основных геометрических форм вирусов.
1. Изучить теоретическую информацию о геометрических формах вирусов.
2. Изготовить модели основных геометрических форм вирусов;
3. Показать на моделях процесс изменения структуры вирусов.
Методы проведенных исследований:
1. Вирусы и их геометрия
1.1 История открытия и методы исследования вирусов
Вирусы - это наименьшие структуры, обладающие свойствами живого организма. Их размер составляет от 20 до 300 нм в длину. Они невидимы в оптический микроскоп и легко проходят через фильтры.
Предполагается, что некоторые вирусы могли образоваться из небольших молекул ДНК, которые могли передаваться между клетками. Есть ещё вариант того, что вирусы произошли от бактерий. При этом благодаря своей эволюции, они являются важным элементом при горизонтальном переносе генов и обеспечивают генетическое разнообразие. Некоторые учёные считают такие образования отличительной формой жизни по некоторым признакам. Во-первых, есть генетический материал, способность воспроизводиться и эволюционировать естественным путем. Но при этом у вирусов нет очень важных характеристик живых организмов, например, клеточного строения, которое является основным свойством всего живого. Из-за того, что вирусы обладают только частью характеристик живого, их относят к формам, существующим на краю жизни.
1.2 Особенности строения и размножения вирусов
Вирусы состоят из следующих основных компонентов:
1. Сердцевина - генетический материал (ДНК либо РНК), который несет информацию о нескольких типах белков, необходимых для образования нового вируса.
2. Белковая оболочка, которую называют капсидом (от латинского капса - ящик). Она часто построена из идентичных повторяющихся субъединиц - капсомеров. Капсомеры образуют структуры с высокой степенью симметрии.
3. Дополнительная липопротеидная оболочка. Она образована из плазматической мембраны клетки-хозяина и встречается только у сравнительно больших вирусов (грипп, герпес).
Капсид и дополнительная оболочка несут защитные функции, как бы оберегая нуклеиновую кислоту. Кроме того, они способствуют проникновению вируса в клетку. Полностью сформированный вирус называется вирионом.
Вирусы способны размножаться только в клетках других организмов. Вне клеток организмов они не проявляют никаких признаков жизни. Многие из них во внешней среде имеют форму кристаллов. Размеры вирусов колеблются в пределах от 20 до 300 м в диаметре.
Условия для размножения
Для размножения вирусу обязательно нужна живая клетка. Репликация одних микроорганизмов протекает в цитоплазме, других — в ядре, третьих — в обеих структурах одновременно.
Типы размножения вирусов
Для большинства вирусов характерен дизъюнктивный тип размножения, при котором их НК и белки сначала синтезируются отдельно, а потом комплектуются в вирионы.
Цикл размножения вирусов может заканчиваться лизисом клетки (литический путь) или встраиванием нуклеиновой кислоты в хромосому хозяина (интегративный путь), с последующей репликацией и функционированием в качестве составного участка ее генома.
Как происходит размножение вирусов: этапы
Продуктивный способ размножения вирусов. Заканчивается он формированием новых вирусных частиц и разрушением (лизисом) пораженной клетки. Этот способ проходит в несколько этапов. Именно так большинство патогенных микроорганизмов взаимодействует с клеткой. Но выделяют еще два способа размножения вирусов, когда не происходит нарушение целостности клеточной оболочки:
абортивный тип: процесс репликации прекращается на одной из фаз и не заканчивается появлением новых вирионов;
интегративный тип: интеграция молекулы ДНК вируса в хромосому хозяина с последующей совместной репликацией.
Схема продуктивного размножения вирусов начинается с их распада на НК и белок. Далее нуклеиновая кислота лишается защитной оболочки (капсида) и начинает воспроизводить себе подобные структуры, согласно заложенной в ней информации. При этом в инфицированной клетке запускается синтез ферментов, необходимых для репликации НК и белков.
После прохождения последовательности стадий размножения ДНК-содержащих вирусов их геном увеличивается вдвое и больше, соединяется с белками и образует дочерние вирионы.
Установлено, что полный цикл последовательности стадий размножения ДНК-содержащих микроорганизмов включает в себя 6 фаз.
1.3 Жизненный цикл вируса
Поскольку вирусы не имеют клеточного строения, они не размножаются клеточным делением. Они используют ресурсы клетки-хозяина для образования множественных копий самих себя, и их сборка происходит внутри клетки.
Жизненный цикл вируса условно можно разбить на 6 основных этапов, которые могут перекрываться во времени:
1.Прикрепление — образование связи между белками вирусного капсида и рецепторами на поверхности клетки-хозяина. Эта связь определяет круг хозяев вируса, то есть инфицирование вирусом только тех клеток, которые способны осуществить его репликацию. Изменения белка оболочки служит сигналом к проникновению вируса в клетку.
2.Проникновение в клетку. Вирус доставляет внутрь клетки свой генетический материал (иногда собственные белки). Разные вирусы используют разные стратегии.
3.Лишение оболочек. Процесс потери каспида при помощи вирусных ферментов или клетки-хозяина, либо результат обычной диссоциации.
4.Репликация. Репликация вируса - включает синтез мРНК ранних генов вируса. Синтез вирусных белков, сборка сложных белков и репликацию вирусного генома.
5.Сборка. Сборка вирусных частиц, затем модификация белков.
6.Выход из клетки. Вирусы могут покинуть клетку после лизиса, процесса, в ходе которого клетка погибает из-за разрыва мембраны и клеточной стенки.
1.4 Геометрические формы и их изменения
Величина вирусов очень мала. Величина вирусов варьирует от 20 до 300 нм (1 нм = 10-9 м).
Вирусы нельзя отнести ни к животным, ни к растениям. Они исключительно малы, поэтому могут быть изучены только с помощью электронного микроскопа.
Формы вирусов и бактерий в системе часто обозначают не звучными латинскими буквами, а сочетаниями букв и цифр.
Многие ученые борются с опасными, смертельными вирусами с того времени, как только они были обнаружены.
С нашей точки зрения, борьба с вирусами будет всегда, пока ученые не найдут средство, которое уничтожит эти опасные для жизни человека организмы имеющие неклеточную форму строения.
Бороться с этими организмами очень тяжело, так как, они имеют свойство изменять состав своего строения при попадании в благоприятные условия.
Поэтому отличительными чертами вирусов по сравнению с другими микроскопическими возбудителями инфекций служат не размеры или обязательный паразитизм, а особенности строения и уникальные механизмы репликации т. е. (воспроизведения самих себя).
По форме они могут быть:
C- или O-образными
Вирусы, патогенные для животных, отличаются кубический симметрией и представляют собой многогранники (тетраэдр, октаэдр, икосаэдр).
Октаэдр - одна из форм организации вирусов
Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходится 4 ребра.
Икосаэдр – это правильный многогранник выпуклой формы, который состоит из 12 вершин и 30 рёбер, основой которых являются 20 правильных треугольников - граней
При икосаэдрическом типе симметрии, показанной на схеме строения аденовируса, образуется изометрический белковый чехол, состоящий из 20 правильных треугольников.
Классифицируют четыре типа вирусов: спиральный, икосаэдрический, продолговатый и комплексный.
Примером спирального вируса может служить вирус табачной мозаики.
В случае спиральной симметрии, показанной на схеме строения вируса табачной мозаики, формируется спираль вокруг полой трубчатой сердцевины.
Большинство вирусов животных имеют икосаэдрическую или почти шарообразную форму с икосаэдрической симметрией. Правильный икосаэдр является оптимальной формой. Многие вирусы, такие как ротавирус, имеют икосаэдрическую симметрию.
Мы часто видим схематическое изображения разноцветных вирусов с ножками и рожками. Глядя же в микроскоп, созерцаем совсем иное зрелище: в природе бактерии все прозрачны и почти бесцветны.
Английский скульптор Люк Джеррем и группа стеклодувов сделали небольшую коллекцию экспонатов различных вирусов. Получилось очень вдохновенно и изящно.
От них исходит некое величие, холодное величие, как от Снежной Королевы, прекрасной, но в то же время безжалостной.
По законам математики для построения наиболее экономичным способом замкнутой оболочки из одинаковых элементов нужно сложить из них икосаэдр, который мы наблюдаем у вирусов.
Вирусы, мельчайшие из организмов, настолько простые, что до сих пор неясно — относить их к живой или неживой природе, — эти самые вирусы справились с геометрической проблемой, потребовавшей у людей более двух тысячелетий!
Вирусы могут обладать разнообразными формами: шаровидные, овальные, палочковидные, нитевидные, цилиндры, тетраэдры, октаэдры и др. (Приложение 1).
Мы выделили 4 наиболее распространенные формы вирусов.
Спиральные капсиды устроены несколько проще. Капсомеры, составляющие капсид, покрывают спиральную нуклеиновую кислоту и формируют тоже достаточно стабильную белковую оболочку этих вирусов. И при использовании высокоразрешающих электронных микроскопов и соответствующих методов приготовления препарата можно видеть спирализованные структуры на вирусах. При спиральной симметрии капсида вирусная нуклеиновая кислота образует спиральную (или винтообразную) фигуру, полую внутри, и субъединицы белка (капсомеры) укладываются вокруг нее тоже по спирали (трубчатый капсид) Примером вируса со спиральной симметрией капсида является вирус табачной мозаики, который имеет палочковидную форму, а его длина составляет 300 нм с диаметром 15 нм. В состав вирусной частицы входит одна молекула РНК размером около 6000 нуклеотидов. Капсид состоит из 2000 идентичных субъединиц белка, уложенных по спирали.
У вирусов с икосаэдрической симметрии субъединицы расположены в виде правильного икосаэдра вокруг ДНК или РНК, скрученной в клубок.
Большинство вирусов животных имеют икосаэдрическую или почти шарообразную форму с икосаэдрической симметрией. Правильный икосаэдр является оптимальной формой для закрытого капсида, сложенного из одинаковых субъединиц. Минимальное необходимое число одинаковых капсомеров — 12, каждый капсомер состоит из пяти идентичных субъединиц.
Сегментированный геном – восемь одноцепочечных молекул РНК, которые как правило кодируют 11 или 12 вирусных белков.
Сферическая структура вирионов определяется капсидом, построенном по принципам кубической симметрии, в основе которой лежит фигура икосаэдра - двадцатигранника. Капсид состоит из асимметричных субъединиц (полипептидных молекул), которые объединены в морфологические субъединицы - капсомеры.
2. Технология изготовления геометрических форм вирусов
1. Выбор формы вируса.
Существует четыре основных формы вируса:
2. Изучение структуры этих форм.
После выбора четырех основных форм вируса, мы начали изучать структуры этих форм. Структура каждого вируса уникальна по-своему.
3. Процесс создания форм вирусов.
Первым мы решили сделать вирус сферической формы. Для этого приобрели пластиковые стаканчики. Затем по кругу начали соединять степлером. В итоге получился вирус шаровидной формы (сферической). Ну а когда макет вируса был готов, мы покрасили его в желтый цвет.
Второй вирус мы начали делать икосаэдрической формы. Для этого вируса нам понадобились только бумага и клей. Мы вырезали развернутый икосаэдр и потом склеили его. Ну а в самом конце покрасили в серый цвет.
Третий вирус мы делали спиралевидной формы. Для изготовления этого вируса нам понадобились: проволока, бумага, клей-кристалл. Сначала мы скрутили проволоку как спираль. Затем мы начали делать из бумаги лепесточки и приклеивали их на проволоку. Ну а когда макет вируса получился, мы также как и все покрасили его.
Ну и четвертый вирус был сегментированной формы. Он сделан из бумаги и покрашен в красный цвет (Приложение 2).
Подводя итоги, можно сказать, что неклеточные формы жизни очень интересные объекты изучения, хотя и представляют некоторую сложность.
Вирусы представляют собой некоторые геометрические формы, поверхности которых используют с наибольшей выгодой для проникновения в клетки человека; вирусы принимают сферическую, спиралевидную, икосаэдрическую, сегментированную формы.
Также можно с уверенностью сказать, что скорость распространения болезней зависит и от того, что размножение вирусов подчиняется законам геометрической прогрессии.
Изучением данных форм жизни занимались с давних времен, каждый раз обнаруживая нечто новое, удивительное. Каждый год появляются новые формы вирусов, что со значительной серьезностью заставляет лучших специалистов мира все тщательней рассматривать эту давно открытую форму жизни.
В процессе работы над проектом, наша гипотеза полностью подтвердилась. Вирусы имеют разные геометрические формы и обладают способностью их изменять. Это позволяет им активно размножаться и выживать, занимая новые территории.
Элементарной ячейкой воды являются тетраэдры, содержащие связанные между собой водородными связями пять молекул Н2О. При этом у каждой из молекул воды в простых тетраэдрах сохраняется способность образовывать водородные связи. За счет их простые тетраэдры могут объединяться между собой вершинами, ребрами или гранями, образуя разнообразные пространственные структуры.
И из всего многообразия структур в природе базовой является гексагональная (шестигранная) структура, когда шесть молекул воды (тетраэдров) объединяются в кольцо. Такой тип структуры характерен для льда, снега и талой воды.
В природе встречаются объекты, обладающие симметрией икосаэдра. Например, вирусы.
Исключительностью икосаэдра вирусы воспользовались не случайно. Тут все дело в экономии — экономии генетической информации. Вы можете спросить: а почему обязательно правильный многогранник? И почему именно икосаэдр? Вирусная частица должна весь обмен клетки-хозяина перевернуть вверх дном; она должна заставить зараженную клетку синтезировать многочисленные ферменты и другие молекулы, необходимые для синтеза новых вирусных частиц. Все эти ферменты должны быть закодированы в вирусной нуклеиновой кислоте. Но количество ее ограничено. Поэтому для кодирования белков собственной оболочки в нуклеиновой кислоте вируса оставлено совсем мало места. Что же делает вирус? Он просто использует много раз один и тот же участок нуклеиновой кислоты для синтеза большого числа стандартных молекул — строительных белков, объединяющихся в процессе автосборки вирусной частицы.
В результате достигается максимальная экономия генетической информации.
Бактериофаги (греч. phagos — пожиратель; буквально — пожиратели бактерий) - бактериальные вирусы, вызывающие разрушение бактерий и других микро организмов. Частицы состоят из головки гексагональной или палочковидной формы диаметром 45—140 нм и отростка толщиной 10—40 и длиной 100—200 нм. Бактериофаг прикрепляется своим отростком к бактериальной клетке и, выделяя фермент, растворяет клеточную стенку; затем содержимое его головки через канадец отростка переходит внутрь клетки, где под влиянием нуклеиновой кислоты фага останавливается синтез бактериальных белков.
Водоросль вольвокс — один из простейших многоклеточных организмов — представляет собой сферическую оболочку, сложенную в основном семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками.
Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра. Он может жить и размножаться только в клетках человека и приматов.
форму додекаэдра форму икосаэдра и особые, причудливые формы: так называемые звездчатые многогранники
Звёздчатый многогранник — это правильный невыпуклый многогранник. Многогранники из-за их необычных свойств симметрии исследуются с древнейших времён. Также формы многогранников широко используются в декоративном искусстве.
Октаэдр имеет 6 вершин и 12 рёбер. На примере октаэдра можно проверить формулу Эйлера 6в+8г-12р=2. В каждой вершине сходятся 4 треугольника,таким образом, сумма плоских углов при вершине октаэдра составляет 240°.Из определения правильного многогранника следует, что все ребра октаэдра имеют равную длину, а грани - равную площадь.
Большой звездчатый додекаэдр принадлежит к семейству тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых многогранников.
Икосаэдр имеет двадцать граней . Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено великим многообразием отсеков – частей пространства, ограниченных плоскостями граней.
Читайте также: