Математическая модель вирусной инфекции

Обновлено: 25.04.2024

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Онлайн
формат
Диплом
гособразца
Помощь в трудоустройстве

Государственное автономное

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

по учебной дисциплине

Постановка проблемы, актуальность темы.

Повсеместное распространение эпидемий чумы, гриппа, других заболеваний и голод, несомненно, были самыми главными причинами несчастий и страданий человека. Общее число людей, погибших от эпидемий, измеряется астрономическим числом.

Например, в XIV веке в Европе чума погубила около 25% всего населения. В то время проживало примерно 100 млн. человек. Эпидемии представляют серьезную опасность не только для тех стран, где они возникают, но и в тех районах, где естественный иммунитет слабее. Победа над

эпидемическими заболеваниями всегда была одной из первостепенных задач медицинской науки. Наряду с лекарствами, которые излечивают многие

болезни, положительный эффект дают следующие меры:

- удаление сточных вод;

- обеспечение чистоты источников водоснабжения;

- организация карантина в случае подозрения на инфекции;

- применение прививок и т. д.

Но и в наше время существуют эпидемиологические проблемы, касающиеся распространения болезни по стране в целом. Для того чтобы

Органы общественного здравоохранения могли принять наиболее эффективные меры в борьбе с эпидемией, необходимо уметь количественно

оценивать грамотное введение мероприятий:

- закрытие учебных заведений и т. д.

К строгому изучению всех аспектов этой проблемы можно приступить лишь на основе правильно сформулированной математической модели. Изучая материал по созданию математической эпидемиологии, приступим

к математическому описанию различных явлений, связанных с развитием эпидемий в человеческом обществе, представим себе, что индивидуум, восприимчивый к определенной инфекции, получает ее прямым или непрямым

путем от зараженного индивидуума. Тут и вступают на помощь методы построения математической модели, описывающие проблему и решающие ее.

Цели и задачи.

Цель работы:

Построение математической модели распространения эпидемии, иммунных реакций и социальных процессов, исследуя различные условия, для предотвращения эпидемии.

Установим вид функции f ( p ), показав, что для функции р( t ) = , имеющей смысл доли больных, можно построить уравнение

Выполним исследование на устойчивость положение равновесия уравнения (1), и дадим биологическую интерпретацию нулевого положения равновесия.

Задав значение параметра α (=0,85), определить при каком β эпидемия не возникнет?

Определить сколько процентов популяции необходимо обследовать за месяц для предотвращения эпидемии, если параметр принимает тоже значение, равное 0,85, если в течение месяца 30% заболевших обращаются к врачу и, что каждый выявленный назовет хотя бы одного больного?

Определить, сколько необходимо обследовать за 1 месяц больных, чтоб предотвратить эпидемию. Из заразившихся к врачу обращаются 70%, частота контактов равна 8,5 и численность населения равна миллиону. При этом каждый больной не указывает ни одного больного.

Покажем, что время Т ₁ , за которое популяция возрастает от q до Q , задается формулой:

Найдем время Т ₂ , которое необходимо чтобы численность популяции сократилась от Q до q под действием уравнения. Найдем период цикла изменения численности популяции.

Степень изученности в современной науке данной темы.

Рассмотрим простейшую модель, описывающую распространение без иммунной эпидемии, в следующей постановке. Пусть популяция размера N = const состоит из двух групп: здоровых особей и больных, численности которых в момент времени t обозначим соответственно N 1( t ) - здоровых и N 2( t ) - больных. Если V ( N 1 ;N 2) и W ( N 1 ;N 2) – скорости заражения и выздоровления соответственно, то балансовые уравнения можно записать в виде:

Скорость заражения V ( N 1 ;N 2). Предположим, что заражение происходит при контакте здоровой и больной особей с единичной вероятностью. Будем считать, что все больные разбиты на две подгруппы – больных, но не выявленных, и выявленных и изолированных, т. е. не допускаемых к контакту. Среднее время изоляции особи, равное T .в дальнейшем для простоты принимаем за единицу времени (пусть T ~ 1 месяц).

Где β – доля больных, выявляемых органами здравоохранения за единицу времени; α – частота контактов в расчете на особь.

Скорость выздоровления W ( N 1 ;N 2). Очевидно, что скорость выздоровления зависит не только от среднего времени излечения, но и от стратегии обнаружения заболевших особей. Предположим, что относительно этой стратегии выполнены следующие гипотезы:

1. Имеется определенная доля заболевших особей γ, которая самостоятельно обращается за медицинской помощью.

2.Органами здравоохранения производиться тотальная выборочная проверка населения на предмет выявления заболевания. Так, если за единицу времени обследуется - А особей, то считаем, что число обнаруженных среди них больных равно .

3.Допускаются механизмы типа проверки контактов больного. Будем предполагать, что такие механизмы позволяют увеличивать число выявляемых больных в фиксированное число раз. Обозначим его за С (например, в два раза, если каждый из выявленных указал еще одного партнера (больного)). В этом случае, С=2.

Наиболее простой из функций W , удовлетворяющих перечисленным гипотезам, является функция

С – это коэффициент, который характеризует эффективность стратегии обследования. Заметим, что для функции имеем:

В простейшем случае, если N фиксировано, то можно считать β= const .

Этапы работы.

Установим вид функции f ( p ). Продифференцируем левую и правую части уравнения р( t ) = . Получаем:

Учитывая формулу (2), получим:

Умножив и разделив правую часть уравнения на N ₂ и, заменив и , а V выразим из формулы (3), получим

Упростим правую часть:

- и отдельно упростим выражение, обозначив его как функцию

- разделим числитель и знаменатель на N и упростим, учитывая, что

N = N ₁ + N ₂ , установим вид функции:

Для функции р( t ) = можно получить уравнение , где функция f ( p ) имеет следующий вид:

Выполним исследование на устойчивость положений равновесия для уравнения: .

Положение устойчивого равновесия устанавливается при условии, когда производная равна нулю. Приравняем производную к нулю и вычислим стационарные точки .

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, т.е. или .

Из второго условия определим . Покажем решение:

Добавим в числитель и, чтоб не изменилось значение выражения, тут же вычтем, получаем:

В итоге после небольших преобразований получаем:

Из условия , выразим показатель β через α:

Положение равновесия достигается при: , .

Рассмотрим случаи, когда

В этом случае р ₂ * =8/11;

В этом случае р ₂ * =3>1

Если , то - неустойчиво (т.к. р ₁ *=0), а - устойчиво (т.к. 0 < р ₂ *<1).

Если , то имеется единственное устойчивое положение равновесия , т.к. р ₂ *>1.

Примем показатель частоты контактов здоровых и больных особей α = 8,5. Высчитаем, при каком значении β эпидемии не возникнет? Используя предыдущие данные из расчета на этапе втором, получим:

Если α = 8,5, то эпидемия не возникнет при β>0,9.

Пользуясь данными, полученными на предыдущем третьем этапе, т.е., чтоб не возникла эпидемия, доля больных должна быть равна 0,9. Итак, при α=8,5 и β=0,9.

Нам необходимо определить процент, обследованных пациентов за месяц: при условии, что каждый выявленный больной называет хотя бы одного больного. Значит, в нашем случае, С=2. А 30% больных обращаются к врачу, следовательно, γ=0,3. Систематизируем все данные в таблицу 1.

Параметры, входящие в формулу

Подставим эти значения, используя формулы (4) и (5), вычислим неизвестный процент, обследованных пациентов за месяц:

Если в течение месяца 30% заболевших пациентов обращаются к врачу, то расчеты показали, что 15% популяции необходимо обследовать за месяц для предотвращения эпидемии.

При проведении массовых обследований может возникнуть пороговый эффект по численности населения. Зная, что = W / N ₂ , пользуясь формулой (4), условием возникновения эпидемии при , найдем связь между численностью населения в определенной местности: N и численностью обследованных единиц населения: А.

Используя формулу (6), определим, сколько необходимо обследовать за месяц больных, чтоб предотвратить эпидемию. Заразившихся к врачу обращается 70%, а =8,5 контактов в месяц и численность населения примерно N =10 6 (предположим это город Волгоград). При этом выявленный больной не называет ни одного больного (С=1). Занесем данные в таблицу 2.

Параметры, входящие в формулу

В формулу (6) подставим данные и вычислим неизвестное.

Вывод : для предотвращения эпидемии в городе с миллионом жителей, необходимо за месяц обследовать менее 194737 заболевших жителей.

Построим модель популяции, в которой могут возникать эпидемии. Первоначально популяция развивается в соответствии с уравнением

, где а, b – константы, большие нуля (7)

Численность такой популяции растет до величины . Когда популяция достигает такого размера, в ней возникает эпидемия, и развитие популяции происходит согласно другому уравнению:

, где А, В – const , большие нуля (8)

причем . Численность популяции уменьшается до уровня q , где .

При достижении этого уровня эпидемия прекращается, рост популяции снова управляется уравнением (7) и так далее. Найдем время, за которое популяция возрастает от q до Q . Для этого используем формулу (7). Интегрируя обе части, получаем:

Решаем, вычисляя интеграл по формулам дробно-рациональной функции:

Из системы: найдем

В итоге интеграл имеет вид:

Итак, время, за которое популяция возрастает, найдено:

Аналогично, используя формулу (8), определим время, которое необходимо, чтоб численность популяции сократилась.

Итак, время, за которое популяция сократится, имеет вид:

Зная, что Т=Т ₁ +Т ₂ , получим период цикла изменения численности популяции:

При решении поставленных задач сделаны следующие выводы:

- Вывод 1 : Выражая долю больных через функцию р( t ) = , можно получить уравнение , где функция f ( p ) имеет следующий вид:

- Вывод 2 : Система имеет положение равновесия, когда показатели доли больных принимают значения: , .

Если , то - неустойчиво, а - устойчиво.

Если , то имеется единственное устойчивое положение равновесия .

- Вывод 3 : Если показатель частоты контактов здоровых и больных особей α = 8,5, то эпидемия не возникнет при доле больных, выявляемых органами здравоохранения β > 0,9.

- Вывод 4 : Если в течение месяца 30% заболевших пациентов обращаются к врачу, то расчеты показали, что 15% популяции необходимо обследовать за месяц для предотвращения эпидемии.

- Вывод 5: Для предотвращения эпидемии в городе с миллионом жителей, необходимо за месяц обследовать менее 194737 заболевших жителей.

- Вывод 6: Время, за которое популяция возрастает от q до Q и начинается эпидемия, можно вычислить по формуле:

Время, когда популяция начинает сокращаться от Q до q до момента начала следующей эпидемии, можно вычислить по формуле:

А период цикла изменения численности популяции можно вычислить по формуле:

Литература, интернет ресурсы

М34 Математические методы в экологии: Сборник задач и упражнений / Е.Е. Семенова, Е.В. Кудрявцева. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2005. 130с.

Эпидемии издавна угрожали человечеству, и только в ХХ веке были разработаны эффективные средства борьбы с инфекциями. К числу этих средств принадлежат и системы дифференциальных уравнений — математика помогает моделировать распространение эпидемий и помогает понять, как следует с ними бороться. Это наш третий материал о самых интересных дифференциальных уравнениях и о том, где и как они применяются (предыдущие материалы можно прочитать здесь и здесь). Если вы читаете нас с телефона, переключайте страницу на десктопную версию, так вы сможете увидеть интерактивный график целиком.

В XXI веке мир уже успел столкнуться с эпидемией птичьего гриппа в Юго-Восточной Азии (в 2013 году) и вспышкой заболеваний лихорадкой Эбола в Африке (2015). Но в истории человечества бывали и куда более масштабные эпидемии.

В 551-580 годах нашей эры в Восточной Римской империи разразилась первая задокументированная пандемия чумы, получившей название Юстиниановой, в результате которой погибло около 100 миллионов человек (по другим данным, жертв могло быть значительно меньше). Спустя еще 800 лет в Евразию и Северную Африку пришла Черная смерть — пандемия чумы, сразившая от трети до половины тогдашнего населения этих регионов.

В результате Первой мировой войны, вызвавшей перемещение большого количества людей, в 1918 году распространился испанский грипп, охвативший более 500 миллионов человек и погубивший каждого десятого заболевшего. Эта пандемия стала самой масштабной за всю историю человеческой цивилизации, коснувшись до 30 процентов населения Земли.

В медицинской классификации эпидемией называют прогрессирующее распространение инфекционного заболевания на уровне выше среднего на данной территории. В случае распространения эпидемии на большие территории или территории многих стран говорят о пандемии.

Для эпидемии среди животных применяется термин эпизоотия, а среди растений — эпифития. Этим явлениям ученые также уделяют большое внимание, поскольку они, в свою очередь, помогают понять механизм распространения инфекций.

Изучение механизмов развития и распространения эпидемий является важным способом борьбы с заболеваниями наряду с поиском новых лекарств, вакцинацией и профилактическими мерами. На помощь медикам пришли математики — для этого им пришлось объединить дифференциальные уравнения и теорию вероятности.

Первую попытку использовать математический аппарат для исследования механизмов распространения заболеваний предпринял Даниил Бернулли, ранее открывший первые законы гидродинамики. Следующий шаг сделал Уильям Фарр, применивший в 1840 году нормальное распределение к анализу смертности от оспы.

В рамках этой модели с помощью систем дифференциальных уравнений (при условии непрерывности времени и большой популяции) или разностных уравнений (при дискретном времени и ограниченной популяции) описывается динамика распространения заболевания.

Модель SIR

SIR–модель получила заслуженную популярность в силу простоты построения и использования. Ее применение позволяет точно моделировать эпидемии гриппа и других заболеваний в больших городах, вводить новые параметры и анализировать разные сценарии.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Онлайн
формат
Диплом
гособразца
Помощь в трудоустройстве

УДК 631.1.017

М.А.Ларькин

с тудент 2 -го курса строительного факультета

Е.Г.Буханова

преподаватель ПЦК информационных технологий,

высшей квалиф. Категории

М АТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВИРУСНОЙ ИНФЕКЦИИ В УСЛОВИЯХ ЭПИДЕМИИ

Аннотация: в работе проведено исследование способов построения математической модели эпидемиологической распространенности и условий для её предотвращения, выработка методов борьбы.

Ключевые слова: вирусная инфекция, эпидемия, COVID -19, математическая модель, прогнозирование.

Проблема распространения вирусных инфекций в настоящее время одна из самых актуальных.

Построение математической модели распространения вирусной инфекции в условиях эпидемии, позволит определить характер развития многих заболеваний , оценить скорость распространения инфекции и другие связанные с заболеванием социальные и экономические факторы.

Непрерывное распространение инфекционного заболевания происходит на фоне следующих условий : н аличие источника инфекции , п ередаточный механизм ,л юди склонны е к заражению.Отсутствие хотя бы одного из этих случаев нарушает цепочку эпидемиологического процесса и останавливает передачу заболевания.

Естественный конец эпидемии наступает тогда, когда все восприимчивые люди заражаются и приобретают иммунитет. Положить конец эпидемии можно с помощью различных методов контроля.

МОДЕЛЬ SEIR , модель, по которой определяют опасные эпидемии, так как инкубационный период может помешать вовремя выявить заболевание.

МОДЕЛЬ SIS - м одель ''Восприимчивые-зараженные-восприимчивые'' применима при исследовании распространения инфекций, против которых иммунитет не развивается, таких как ОРВИ и грипп.

МОДЕЛЬ MSEIR , модель, учитывающая инфекцию с инкубационным периодом и иммунитетом детей, приобретенным в утробе матери.

Главной проблемой становится то, что COVID -19 появился сравнительно недавно и он не до конца изучен и очень много различных факторов из-за которых сложно построить точную математическую модель развития инфекции.

Для моделирования динамики эпидемии COVID -19 в данном исследовании мы использовали следующие данные:

ü Вероятность передачи инфекции при непосредственном контакте с людьми;

ü Продолжительность инкубационного периода, пациентов с COVID -19;

ü Время, необходимое для лечения заболевания после консультации с врачом;

ü Частота контактов с людьми по одному человеку в день.

Модель SEIR включает период инкубации патогена. Данная модель была использована для исследования вспышки COVID-19 и прогноза в Китае и странах Европы. Я использую модифицированную модель SEIR с обособленным временем, описываемое уравнениями:

Здесь S ( t ), I ( t ), R ( t ) имеют то же значение, что и в модели SIR , а E ( t )
Количество инфицированных людей с патогеном в инкубационном периоде. Общее количество граждан страны N = S ( t ) + E ( t ) + I ( t ) + R ( t ), являются постоянными. У SEIR модели присутствуют два параметра, значения которых могут быть взяты из актуальных данных об эпидемиологической обстановке: γ , β . Параметр γ >0 - интенсивность выздоровления и смертей, параметр β> 0 - частота инфицирования среди лиц, подвергшихся заражению во время контакта с зараженными или латентными. Коэффициент σ> 0 - время инкубационного периода, при котором появляются первые симптомы у людей, находящихся в этом периоде. Величина σ соответственна средней длительности периода инкубации COVID-19: σ = 1/7.

Число pC > 0 - количество контактов на 1 человека в день для зараженных I(t), то число Rt > pC - количество контактов на человека в сутки для тех, кто находится в латентном периоде E (t).Параметры Pc и Rt могут измениться, если люди соблюдают социальную дистанцию.

Важная особенность пандемии COVID-19 - это большая разница между фактическим количеством инфицированных людей и числом зараженных. Это связано с большим присутствием инфицированных бессимптомно, с невозможностью сделать полное тестирование населения, а также с неточными и недостаточно технологичными тестами. Обозначим через α отношение к общему числу инфицированных количество зафиксированных зараженных.

Сначала рассмотрим случай когда α = 5. В результате оценки параметров
Модель SEIR через МНК, по данным с 10 марта по 20 апреля, получаем:

β = 0.027 ، γ = 0.017.

Продолжая, я возьму значения остальных параметров в качестве основных: σ = 1/7; pC = 2, r = 10.

Эти значения соответствуют режиму изоляции введенному на тот момент. Начальные условия S (t), I (t), E (t), R (t) при t = 0 также задаются по тому же подобию, с использованием соотношения:

E (t) = (I (t + 1) - (1 - γ ) I (t) / σ , S (0) = N

I (t) = α (I (t) - D (t) - H (t)

R ( t ) = D ( t ) + ah ( t )

Данные о количестве инфицированных I (t), количестве выздоровевших H (t) и количестве умерших D (t), взяты из доверенных источников. Результаты калибровки показаны на рисунке 1. Они показывают хорошую точность, приближенную к реальным данным по модели [2, с. 61-77 ].

Рисунок 1 . Результаты калибровки.

Результаты 120-дневного прогнозирования предоставлены моделью на рисунке 2.

Рисунок 2а. СЕИР

Рисунок 2б СЕИР

Рисунок 2а (слева) результаты прогнозирования на период с 20 апр. по 18 авг. 2021 г., основанные на данных с 10.03.2021 по 20.04.2021. На графике синяя кривая соответствуют процессу S (t), желтая кривая — процессу E (t), а красная кривая — процессу I (T) и фиолетовая — это R (T). Замечаем, что пик эпидемии должен наступить на сороковой день — 30 мая 2021 года. На рис.2б видны результаты прогноза модели, прогноз был построен по данным с 10 мар. по 15 апр. Эту модель можно было построить, используя меньше данных. Но при этом она должна обладать меньшей предсказательной силой. Однако на графике видно, что такая "устаревшая" модель не позволяет точно предсказать пик заболеваемости, на сорок пятый день или опять же 30 мая.

Прогноз карантинной системы

На рисунке 3 показан схожий прогноз для более строгой карантинной системы (pC = 1.5, r = 7.5). На рисунке 4 - строгий прогноз карантинной системы (ПК=1, y=5). Таким образом, как свидетельствуют диаграммы на рис. 2-4, при обычном карантинном режиме пик заболеваемости проходит на сороковой день - 30 мая. При строгом режиме - 60-й день - 10 июня, а при крайне строгом на сотый день — 20 июл.

Рисунке 5. Итоги калибровки.

Обратимся к рассмотрению случая α = 10. Модель была откалибрована аналогично случаю α = 5. Итоги калибровки показаны на рисунке 5.

График показывает хорошую точность приближения к реальным данным моделью везде, кроме начального участка.

Результаты прогноза видны на 120 дней за период с 20 апр. по 18 авг. 2021 г. [3, с.1]

Согласно модели, на рисунке 6 на графике видно, что прогноз даты достижения максимального количества зараженных приходятся на 23-24 мая.

На рисунке 7 виден схожий прогноз для улучшенной карантинной системы ( pC = 1.5, r = 7.5), а на рис.8 — прогноз для карантинного режима "очень строгий" ( pC = 1, r = 5). Видно, что изменение значений α от α = 5 до α = 10 мало.

Результаты такого прогноза могут использоваться для оценки эффективности систем самоизоляции, определения оптимальной стратегии, к примеру, периодично усилять и ослаблять карантинные меры и т.д.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Онлайн
формат
Диплом
гособразца
Помощь в трудоустройстве

Описание презентации по отдельным слайдам:

Выполнила: Мирончук Мария, учащаяся 9 класса
МБОУ Шуйской ОШ Вяземского района Смоленской области.
Руководитель проекта: учитель математики Мирончук З. Д.
с. Шуйское 2018 год

Проект
по математике на тему

Цель исследования: изучить вирусы и бактерии с точки зрения математики.
Проблема: что связывает математику с вирусами и бактериями?
Объект исследования: вирусы и бактерии.
Предмет исследования: связь вирусов и бактерий с математикой
Гипотеза: жизнь вирусов и бактерий подчиняется законам математики.
Задачи:
1) изучить сведения по теме, используя научно –популярную литературу,
ресурсы Интернета;
2) изучить формы отдельных представителей вирусов и бактерий;
3) изучить рост численности и размеры вирусов и бактерий;
4) доказать, что рост численности вирусов и бактерий подчиняется
законам математики.

Размножение вирусов
Основной чертой вирусов является то, что они могут размножаться только паразитируя в клетках зараженного организма. Вирусы не обладают собственным аппаратом для синтеза органических молекул, поэтому для самовоспроизведения они используют ресурсы клетки хозяина.

Формы бактерий
По особенностям строения бактерии могут быть:
шаровидные (кокки)
палочковидные (бациллы, клостридии, псевдомонады)
извитые (вибрионы, спириллы, спирохеты)
звездчатые
тетраэдрические
кубические
C- или O-образные кокки (более или менее сферические)

Формы вирусов
Зрелая вирусная частица, состоит из нуклеиновой кислоты, покрытой защитной белковой оболочкой — капсидом. Капсомер — структурная белковая субъединица капсида. Капсид состоит из белков, а его форма лежит в основе классификации вирусов по морфологическому признаку:

Рост численности бактерий
Попадая в благоприятные для развития условия, бактерия делится, образуя две дочерние клетки; у некоторых бактерий деления повторяются через каждые 20 минут, и возникают все новые и новые поколения бактерий.
Произведём некоторые расчёты, составим числовую последовательность из получившегося числа бактерий:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64…. Заметим, что данная последовательность образует геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2. Нетрудно заметить, что через час четвёртый член последовательности будет равен 8, через 2 часа – седьмой член последовательности будет равен 64 и т. д. Через 6 часов девятнадцатый член такой прогрессии будет равен 262144 и т. д.
Вывод: рост численности бактерий подчиняется законам геометрической прогрессии.

Рост численности вирусов
Теперь мы исследуем увеличение численности вируса под названием аденовирус (вирус ОРЗ).
Капсид аденовируса состоит из 252 капсомеров, 12 находятся по углам икосаэдра, а 240 - на гранях и ребрах. Цикл репродукции продолжается 14 и более часов. В одной клетке образуется до 1000 вирусных частиц, при этом клетка разрушается. В свою очередь новые вирусные частицы, попав в новые клетки, становятся способными к созданию других вирионов и т. д.
Таким образом, только один вирион через двое суток после попадания в клетку человека способен дать потомство около 1 млрд. вирионов, то есть размножение аденовируса, как и всех других, подчиняется формуле n-ого члена геометрической прогрессии, где знаменатель q = 1000.
Вывод: рост численности вирусов подчиняется законам геометрической прогрессии.

Я провела анкетирование среди одноклассников (8 из 10) и получила следующие результаты:
87,5 % знают, что такое вирусы и бактерии;
75 % неизвестно о формах вирусов и бактерий;
50 % уверены, что численность вирусов и бактерий не подчиняется законам математики

ВЫВОДЫ
1. Выдвинутая мною гипотеза подтвердилась: рост численности вирусов и бактерий подчиняется закону геометрической прогрессии, т. е. законам математики.
2. Связаны ли вирусы и бактерии с математикой, я изучала, используя научно - популярную литературу, ресурсы Интернета. Из данных источников узнала, что строение различных вирусов и бактерий, процесс их размножения, в том числе и формы этих микроорганизмов связаны с математикой.
3. Работа над проектом показала, что интересно изучать вирусы и бактерии и всё то, что невидимо простым глазом.
4. В наше время вопросам изучения вирусов и бактерий уделяется достаточное количество времени. Изучением данных форм жизни занимались с давних времен, каждый раз обнаруживая нечто новое, удивительное. Каждый год появляются новые формы вирусов, что со значительной серьезностью заставляет лучших специалистов мира все тщательней рассматривать эту давно открытую форму жизни.
5. Вирусы и бактерии играют важную роль как в естественном отборе организмов, в процессе эволюции живого мира, так и в повседневной жизни человека.
6. С моей точки зрения, борьба с вирусами будет всегда, пока ученые не найдут средство, которое уничтожит эти опасные для жизни человека организмы.